P2024 食物链（种类并查集）

P2024 [NOI2001]食物链

题目描述

动物王国中有三类动物 A,B,C，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。A 吃 B，B吃 C，C 吃 A。

现有 N 个动物，以 1 － N 编号。每个动物都是 A,B,C 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。

有人用两种说法对这 N 个动物所构成的食物链关系进行描述：

• 第一种说法是“1 X Y”，表示 X 和 Y 是同类。
• 第二种说法是“2 X Y”，表示 X 吃 Y 。

此人对 N 个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 K 句话，这 K 句话有的是真的，有的是假的。当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。

• 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话
• 当前的话中 X 或 Y 比 N 大，就是假话
• 当前的话表示 X 吃 X，就是假话

你的任务是根据给定的 N 和 K 句话，输出假话的总数。

输入格式

第一行两个整数，N，K，表示有 N 个动物，K 句话。

第二行开始每行一句话

输出格式

一行，一个整数，表示假话的总数。

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经典的种类并查集使用

好像也叫带权并查集

由此觉得并查集并不是一个简单的东西

我们可以对并查集中的每一个元素，记录一个\(relation(x)\)，表示\(x\)和\(fa(x)\)的关系

\(relation(x)\)有三种值：

• 0，表示\(x\)和\(fa(x)\)是同类
• 1，表示\(x\)被\(fa(x)\)吃掉
• 2，表示\(x\)吃掉\(fa(x)\)

当然，一开始的时候每个节点的父亲都是自己，\(relation\)也就是0，自己和自己是同类

那么，我们在进行路径压缩的时候，更新了\(fa(x)\)的同时，就也要更新\(relation(x)\)

考虑我们知道\(relation(x),relation(fa(x))\)，如何退出\(x\)和它的爷爷的关系？

即为：\((relation(x)+relation(fa(x)))\bmod 3\)

试一下就知道，这对于每种情况都是成立的，因为懒就不写出来了

其实这样说明了，刚才的的三个值并不是乱取的，要根据如何写上面那个公式简单来确定这三个值的意义

那么考虑另一件事，\(relation(x)\)是\(x\)相对于它的父亲的信息，那么如何通过\(relation(x)\)得到它父亲相对于它的信息？

试试三种情况就知道，是\((3-relation(x)) \bmod 3\)

稍微举个例子，比如\(x\)能吃掉\(fa(x)\)，也就是\(relation(x)=2\)

那么\(3-relation(x)=1\)，也就是说明，\(fa(x)\)被\(x\)吃掉

有了这个，就可以去考虑如何将两个集合合并了

设\(x,y\)的根分别是\(findx,findy\)，那么我们首先让\(fa(findy)=findx\)

那么\(fa(findy)\)被更新了，那么\(relation(findy)\)就也要更新

放上代码，对着代码说应该比较方便

inline void link(int x,int y,int findx,int findy,int o){
	fa[findy]=findx;
	relation[findy]=(3-relation[y]+o-1+relation[x])%3;
}

那个o就是一句话的类型，\(o=1\)表示同类，\(o=2\)表示\(x\)吃\(y\)

然后连完以后是这个样字，省略了其它无关节点

要想知道\(findx\)和\(findy\)的关系，肯定是要从\(x,y\)入手，因为其它没有边相连的节点之间的关系是不确定的

\(o-1\)，即为\(y\)相对于相对于\(x\)的关系，换句话说，就是如果\(y\)的父亲是\(x\)，那么\(relation(y)=o-1\)

那么我们可以在原来的树里想象出一些边，即为下图中的蓝色边，这些边是由父亲指向儿子

结合之前说的求\(x\)相对于它爷爷的关系的方法，我们可以给这个方法再加深一层

也就是求\(findy\)相对于它爸爸的爸爸的爸爸的关系（（（

其实就是顺着那些蓝色箭头往回走，那么走了这么三层，就到\(findx\)了

那么这三段蓝箭头产生的\(relation\)值加起来模3就行了

这也体现出以一个巧妙的方式确定\(relation\)的值多么重要，如果是瞎确定的，没有一个简洁的公式，那么上一步两层的还好，这一步变成三层就极其麻烦了

那么就是\((3-relation(y))+(o-1)+relation(x)\bmod 3\)，顺序是逆着箭头方向来的

所以这题基本就清晰了，部分细节看代码就好了

但是有一个实现上的地方要说一说，就是find函数

int find(int x){
	if(fa[x]==x) return x;
	int tmp=fa[x];
	fa[x]=find(fa[x]);
	relation[x]=(relation[x]+relation[tmp])%3;
	return fa[x];
}

为什么要先将fa[x]=find(fa[x])后再更新relation[x]？

因为在处理fa[x]之前，如果就用relation[fa[x]]去更新relation[x]，那么此时fa[x]与根的关系可能是没更新的错误信息，不能被用来更新relation[x]

为什么要定义一个tmp=fa[x]？

因为在fa[x]=find(fa[x])后，fa[x]的值有了变更

所以，并查集这玩意本身好像并不难，但一些更高级的应用还是有点东西的

当然也是我太蒻的原因

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#define reg register
#define EN std::puts("")
#define LL long long
inline int read(){
	int x=0,y=1;
	char c=std::getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') y=0;c=std::getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+(c^48);c=std::getchar();}
	return y?x:-x;
}
int n,m;
int fa[50006],relation[50006];
inline void link(int x,int y,int findx,int findy,int o){
	fa[findy]=findx;
	relation[findy]=(3-relation[y]+o-1+relation[x])%3;
}
int find(int x){
	if(fa[x]==x) return x;
	int tmp=fa[x];
	fa[x]=find(fa[x]);
	relation[x]=(relation[x]+relation[tmp])%3;
	return fa[x];
}
int main(){
	n=read();m=read();
	reg int ans=0;
	for(reg int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
	for(reg int i=1,o,x,y;i<=m;i++){
		o=read();x=read();y=read();
		if(x>n||y>n){ans++;continue;}
		if(o==2&&x==y){ans++;continue;}
		int findx=find(x),findy=find(y);
		if(findx!=findy) link(x,y,findx,findy,o);
		else{
			if(o==1){if(relation[x]!=relation[y]) ans++;}
			else{
				if((relation[y]+3-relation[x])%3!=1) ans++;
			}
		}
	}
	std::printf("%d",ans);
	return 0;
}