模拟赛毒瘤状压DP题：Kronican

Kronican

内存限制：32 MiB

时间限制：2000 ms

标准输入输出

题目类型：传统

评测方式：文本比较

上传者： cqbzgm

题目描述

Mislav有N个无限体积的杯子，每一个杯子中都有一些水。Mislav想喝掉所有的水，但他不想喝超过K杯水。Mistrav能做的就是将一个杯子中的水倒入另一个杯子中。 不幸的是，挑选哪两个杯子进行倒水操作对Mislav来说很重要，因为并非所有的杯子都离他一样远。更准确地说，从i号杯子向j号杯子倒水所付出的代价为Cij。 帮助Mislav找到他需要付出的总代价的最小值。

输入格式

第一行输入包含整数N和K（1≤K≤N≤20）。表示水杯的总数和Mislav最多能喝多少杯。 接下来N行每行包含N个整数Cij（0≤Cij≤1e5）。第i+1行的第j个整数表示从第i个杯子第j个杯子倒水所需要付出的代价。保证Cii等于0。

输出格式

输出一个整数。表示Mislav需要付出的总代价的最小值。

样例

样例输入1

3 3

0 1 1

1 0 1

1 1 0

样例输出1

0

样例输入2

3 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

样例输出2

1

样例输入3

5 2

0 5 4 3 2

7 0 4 4 4

3 3 0 1 2

4 3 1 0 5

4 5 5 5 0

样例输出3

5

数据范围与提示

对于40%的数据，N≤10。

这道题考场上我想到的居然是最小生成树（于是就成功的爆零了），如果加了特判的话就有80分，主要还是数据太水了吧。

下面就来讲讲正解呗，因为之前接触过状压DP，所以做起来还是比较顺。

一个二进制数\(0000\)表示4个水杯都装有水，\(0001\)表示第一个水杯是空的，代价最小的状态，同理，\(1000\)表示第4个水杯是空的，代价最小的状态。

现在来考虑状态转移，拿\(1000\)举例，不难发现它可以转移到。

• \(1100\)
• \(1010\)
• \(1001\)
  
  （可以这么考虑，我们在\(1000\)这个状态下进行了一个将\(i\)杯子的水倒入了\(j\)的操作。不管\(i\)和\(j\)是多少，总会有一个杯子会空掉，所以会多出一个"1"出来）

因为每次操作只能在两个装有水的杯子\(i\)和\(j\)的杯子进行，所以我们只需要在当前状态\(1000\)里暴力枚举位数为\(0\)的\(i\)和\(j\),模拟将\(i\)倒入\(j\)的操作。因为\(i\)倒入了\(j\)，所以第\(i\)位为1，权值为\(w_{ij}\)。

那么我们便可以得出状态转移方程：

\(f_{S+1<<i} = min(f_{S}+w_{ij})\)

S为当前状态，一个二进制数。当空的杯子，也就是S的1的个数为\(n-k\)时，我们便可以记录答案。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

#define N 30

int n,k,w[N][N],ans,inf,f[1<<21];

int main() {
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	ans=f[0];
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++)
		cin>>w[i][j];
	f[0]=0;
	for(int S=0;S<1<<n;S++) {
		int sum=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) if(S & (1<<(i-1))) sum++;
		if(sum==n-k) {
			ans=min(ans,f[S]);
			continue;
		}
		if(sum>n-k) continue;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(!(S&(1<<(i-1))))
				for(int j=1;j<=n;j++)
					if(!(S & (1<<(j-1))) && i!=j)
						f[S+(1<<(i-1))]=min(f[S+(1<<(i-1))],f[S]+w[i][j]);
	}
	cout<<ans;
}