BZOJ2440/洛谷P4318 [中山市选2011]完全平方数 莫比乌斯函数

题意：找到第k个无平方因子数。

解法：这道题非常巧妙的运用了莫比乌斯函数的性质！

解法参考https://www.cnblogs.com/enzymii/p/8421314.html这位大佬的。这里我说下自己的理解：

首先看到K这么大，想到可能要二分答案。那么我们二分答案M，问题就变成计算<=M的数有多少个无平方因子数。

我们考虑这样一个算法：枚举<=M的每一个无平方因子数，然后枚举它的倍数将其去掉。但是这个方法有一个问题就是会重复删除，例如一个数 2*3*5 ，他会被2/3/5分别删除一次，然后又会被2*3/2*5/3*5删除(等等)......处理这种重复问题我们一般会采用容斥原理。

于是我们想办法  -一个因子倍数+两个因子倍数-三个因子倍数.......   ； 想上诉的2*3*5， -（2/3/5）+（2*3/2*5/3*5）-（2*3*5）=  -1  。这样我们就解决了重复问题！！！

那么再仔细观察这个系数，奇数个质因子的无平方数系数是-1，偶数个质因子的无平方数的系数是1，这不就是莫比乌斯函数！！！

于是我们得到了式子：

于是此题可解了：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int N=1e5+;
 const int Pr=1e5;
 int K;

 bool vis[N];
 int tot=,pri[N]; LL mu[N];
 void prework() {
     vis[]=; mu[]=;
     for (int i=;i<=Pr;i++) {
         if (!vis[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-;
         for (int j=;j<=tot&&i*pri[j]<=Pr;j++) {
             int k=i*pri[j]; vis[k]=;
             if (i%pri[j]==) {
                 mu[k]=; break;
             }
             mu[k]=-mu[i];
         }
     }
 }

 bool check(LL M) {
     LL i=,j,ret=;
     for (int i=;i*i<=M;i++) ret+=mu[i]*(M/(i*i));
     return ret>=K;
 }

 int main()
 {
     prework();
     int T; cin>>T;
     while (T--) {
         scanf("%d",&K);
         LL L=,R=*K;
         while (L<R) {
             LL M=(L+R)/;
             if (check(M)) R=M; else L=M+;
         }
         printf("%lld\n",R);
     }
     return ;
 }