【洛谷P2398】GCD SUM

题目大意：求 $$\sum\limits_{i=1}^{n\sum\limits_{j=1}}ngcd(i,j)$$

题解：

最重要的一步变换在于。

\[\sum\limits_{k=1}^n k \sum\limits_{d=1}^{\lfloor{n\over k}\rfloor}\mu(d)\lfloor{n\over kd}\rfloor\lfloor{n\over kd}\rfloor
\]

令 $$t = kd$$，枚举 \(t\) 得

\[\sum\limits_{t=1}^n\lfloor{n\over t}\rfloor\lfloor{n\over t}\rfloor \sum\limits_{k|t}\mu({t\over k})k
\]

根据狄利克雷卷积可知，后面求和为欧拉函数 \(\varphi(t)\)。最后线性筛+除法分块即可，时间复杂度 \(O(n)\)。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
typedef long long LL;

int n,prime[maxn],tot;
LL phi[maxn],sum[maxn];
bool vis[maxn];

void sieve(){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i])prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;i*prime[j]<=n;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}else{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
}

void solve(){
	LL ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int j=n/(n/i);
		ans+=(LL)(n/i)*(n/i)*(sum[j]-sum[i-1]);
		i=j;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
	scanf("%d",&n);
	sieve();
	solve();
	return 0;
}