似乎是比较基础的一道用到polya定理的题,为了这道题扣了半天组合数学和数论。

等价的题意:可以当成是给正n边形的顶点染色,旋转同构,两种颜色,假设是红蓝,相邻顶点不能同时为蓝。

大概思路:在不考虑旋转同构的情况下,正n边形有fib(n+1)+fib(n-1)种染色方法(n==1特判),然后后面就是套公式了,涉及到要用欧拉定理优化,不然会T。(理论的东西看下组合数学书中polya计数部分,及数论书中欧拉函数部分中 n的约数的欧拉函数,感觉看博客不如系统的看看书,再结合一下网上一些比较基础的polya题来理解。)

题目链接: http://acm.split.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5868

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod=1e9+;
LL Eular(LL n)
{
LL ret=n;
for(LL i=; i*i<= n; i++)
{
if(n%i==)
{
ret-=ret/i;
while(n%i==) n/= i;
}
}
if(n>) ret-=ret/n;
return ret;
}
LL qpow(LL n,LL k)
{
LL res=;
for(; k; k>>=)
{
if(k&) res=res*n%mod;
n=n*n%mod;
}
return res;
}
LL inv(LL x)
{
return qpow(x,mod-);
}
const LL N=;
struct Mat
{
LL mat[N][N];
};
Mat Mut(Mat a,Mat b)
{
LL i,j,k;
Mat c;
memset(c.mat,,sizeof(c.mat));
for(k=; k<N; k++)
{
for(i=; i<N; i++)
{
if(a.mat[i][k])
for(j=; j<N; j++)
{
if(b.mat[k][j])
c.mat[i][j]=c.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j];
c.mat[i][j]=c.mat[i][j]%mod;
}
}
}
return c;
}
Mat Pow(Mat a,LL n)
{
Mat c;
for(int i = ; i < N; ++i)
for(int j = ; j < N; ++j)
c.mat[i][j] = (i == j);
for(; n; n>>=)
{
if(n&) c=Mut(c,a);
a=Mut(a,a);
}
return c;
}
LL fib(LL x)
{
if(x==) return ;
Mat A;
A.mat[][]=A.mat[][]=A.mat[][]=;
A.mat[][]=;
Mat A_=Pow(A,x-);
return A_.mat[][];
}
LL polya(LL n)
{
if(n==) return ;
LL ans=,i;
for(i=;i*i<n;i++)
if(n%i==)
{
ans=(ans+Eular(i)*(fib(n/i-)+fib(n/i+)))%mod;
ans=(ans+Eular(n/i)*(fib(i-)+fib(i+)))%mod;
}
if(i*i==n) ans+=Eular(i)*(fib(i-)+fib(i+))%mod;
return ans*inv(n)%mod;
}
int main()
{
LL n;
while(cin>>n)
cout<<polya(n)<<'\n';
}

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