「刷题笔记」LCA问题相关

板子

ll lg[40];

ll dep[N],fa[N][40];
ll dis[N];
void dfs(ll u,ll f)
{
	dep[u]=dep[f]+1;
	fa[u][0]=f;
	for(int i=1;i<=lg[dep[u]];i++)
	{
		fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
	}
	for(int i=head[u];i;i=next[i])
	{
		ll v=e[i].v;
		if(v==f)continue;
		dis[v]=dis[u]+e[i].w;
		dfs(v,u);
	}
}

ll lca(ll a,ll b)
{
	if(dep[a]<dep[b])swap(a,b);
	while(dep[a]>dep[b])
	{
		a=fa[a][lg[dep[a]-dep[b]]];
	}
	if(a==b)return a;
	for(int i=lg[dep[a]];i>=0;i--)
	{
		if(fa[a][i]!=fa[b][i])
		{
			a=fa[a][i];
			b=fa[b][i];
		}
	}
	return fa[a][0];
}
void lgp()
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		lg[i]=lg[i-1]+((2<<lg[i-1])==i);
	}
}

牧场旅行

记一个比较容易的结论：

树上路径长：

\[dis(u,v)=dis(1,u)+dis(1,v)-2\cdot dis[1,lca(u,v)]
\]

这道题就是用这个结论套\(lca\)板子

然后注意写不要在\(if\)语句的同行加分号……（就是直接判了个寂寞）

Distance Queries 距离咨询

怕不是和牧场旅行完全重题……

记下是因为要注意预处理\(lg\)数组的时候是从\(1\)开始的

然后输入的方向根本没用……

货车运输&&星际导航

这两题就只是最大最小相反好吧……

之前学树剖的时候做过货车这道题，树剖方法见这篇博客

这里记一下倍增方法

首先容易想到这条符合题意的路径肯定是在无向图的最大/最小生成树上的，于是先用\(kruskal\)把这棵树抠出来，然后树上倍增求即可

相当于一个树上的\(RMQ\)，所以用倍增解决，跟求\(lca\)时差不了太多，就是多维护了一个区间最值数组，然后跳的时候顺便记得用它更新答案

再就是\(kruskal\)之前先把边存在别的地方，要不会出玄学错误……

代码（以货车运输为例）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ZZ_zuozhe int main()
#define N 50005
#define E 500005

ll n,m,a,b,c,q;

struct edge
{
	ll u,v,w;
}e[E],t[E];
ll tot=0,head[E],next[E];
void add(ll a,ll b,ll c)
{
	++tot;
	e[tot].u=a;
	e[tot].v=b;
	e[tot].w=c;
	next[tot]=head[a];
	head[a]=tot;
}
bool cmp(edge a,edge b)
{
	return a.w>b.w;
}

ll lg[E];
void lgp()
{
	for(int i=2;i<=m;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;
}

ll dep[N],fa[N][30],mx[N][30];

void dfs(ll u,ll f)
{
	dep[u]=dep[f]+1;
	fa[u][0]=f;
	for(int i=1;i<=lg[dep[u]];i++)
	{
		fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
	}
	for(int i=head[u];i;i=next[i])
	{
		ll v=e[i].v;
		if(v==f)continue;
		mx[v][0]=e[i].w;
		dfs(v,u);
	}
}

void mxp()
{
	for(int j=1;j<=lg[n];j++)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			mx[i][j]=min(mx[i][j-1],mx[fa[i][j-1]][j-1]);
		}
	}
}

ll f[N];
ll fd(ll a)
{
	if(f[a]==a)return a;
	else return f[a]=fd(f[a]);
}
void uni(ll a,ll b)
{
	ll x=fd(a),y=fd(b);
	f[y]=x;
}

void kruskal()
{
	sort(t+1,t+m+1,cmp);
	memset(head,0,sizeof head);
	tot=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		ll a=t[i].u,b=t[i].v,c=t[i].w;
		if(fd(a)!=fd(b))
		{
			uni(a,b);
			add(a,b,c);
			add(b,a,c);
		}
	}
}

ll lca(ll a,ll b)
{
	ll res=1000000000000000000;
	if(dep[a]<dep[b])swap(a,b);
	while(dep[a]>dep[b])
	{
		res=min(res,mx[a][lg[dep[a]-dep[b]]]);
		a=fa[a][lg[dep[a]-dep[b]]];
	}
	if(a==b)return res;
	for(int i=lg[dep[a]];i>=0;i--)
	{
		if(fa[a][i]!=fa[b][i])
		{
			res=min(res,mx[a][i]);
			res=min(res,mx[b][i]);
			a=fa[a][i];
			b=fa[b][i];
		}
	}
	res=min(res,mx[a][0]);
	res=min(res,mx[b][0]);
	return res;
}

ZZ_zuozhe
{
	//freopen("owo.in","r",stdin);
	//freopen("awa.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	lgp();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&t[i].u,&t[i].v,&t[i].w);
	}
	kruskal();
	dep[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)if(!dep[i])dfs(i,0);
	mxp();
	scanf("%lld",&q);
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		scanf("%lld%lld",&a,&b);
		if(fd(a)!=fd(b))puts("-1");
		else printf("%lld\n",lca(a,b));
	}
	return 0;
}

bzoj3306 树

就是遥远的国度嘛\(qaq\)

这篇博客里有思路和树剖的版本，这里给出倍增方法的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ZZ_zuozhe int main()
#define N 200005

ll n,q,a,b,root,rt;
char ch[3];

struct edge
{
	ll u,v;
}e[N];
ll tot=0,head[N],next[N];
void add(ll a,ll b)
{
	++tot;
	e[tot].u=a;
	e[tot].v=b;
	next[tot]=head[a];
	head[a]=tot;
}

ll lg[N];
void lgp()
{
	for(int i=2;i<=n;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;
}

ll dep[N],fa[N][30];
ll l[N],r[N],cnt=0;
ll num[N],w[N];

void dfs(ll u,ll f)
{
	l[u]=++cnt;
	num[l[u]]=w[u];
	fa[u][0]=f;
	dep[u]=dep[f]+1;
	for(int i=1;i<=lg[dep[u]];i++)
	{
		fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];
	}
	for(int i=head[u];i;i=next[i])
	{
		ll v=e[i].v;
		if(v==f)continue;
		dfs(v,u);
	}
	r[u]=cnt;
}

ll lca(ll a,ll b)
{
	if(dep[a]<dep[b])swap(a,b);
	while(dep[a]>dep[b])
	{
		a=fa[a][lg[dep[a]-dep[b]]];
	}
	if(a==b)return a;
	for(int i=lg[dep[a]];i>=0;i--)
	{
		if(fa[a][i]!=fa[b][i])
		{
			a=fa[a][i];
			b=fa[b][i];
		}
	}
	return fa[a][0];
}

#define lson rt<<1,l,m
#define rson rt<<1|1,m+1,r
ll tree[N<<2];

void upd(ll rt)
{
	tree[rt]=min(tree[rt<<1],tree[rt<<1|1]);
}

void build(ll rt,ll l,ll r)
{
	if(l==r)
	{
		tree[rt]=num[l];//cout<<l<<' '<<tree[rt]<<endl;
		return;
	}
	ll m=(l+r)>>1;
	build(lson);
	build(rson);
	upd(rt);
}

void change(ll rt,ll l,ll r,ll n,ll val)
{
	if(l==r)
	{
		tree[rt]=val;
		return;
	}
	ll m=(l+r)>>1;
	if(m>=n)change(lson,n,val);
	if(m<n)change(rson,n,val);
	upd(rt);
}

ll query(ll rt,ll l,ll r,ll nl,ll nr)
{
	if(nl<=l&&r<=nr)
	{
		//cout<<' '<<tree[rt]<<endl;
		return tree[rt];
	}
	ll m=(l+r)>>1;
	ll ans=1000000000000000000;
	if(m>=nl)ans=min(ans,query(lson,nl,nr));
	if(m<nr)ans=min(ans,query(rson,nl,nr));
	return ans;
}

ZZ_zuozhe
{
	//freopen("owo.in","r",stdin);
	scanf("%lld%lld",&n,&q);
	lgp();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld%lld",&a,&w[i]);
		if(a)add(a,i);
		if(a==0)root=i;
	}
	dfs(root,0);
	rt=root;
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		scanf("%s",ch);
		if(ch[0]=='V')
		{
			scanf("%lld%lld",&a,&b);
			//cout<<'\t'<<l[a]<<' '<<b<<endl;
			change(1,1,n,l[a],b);
		}
		else if(ch[0]=='E')
		{
			scanf("%lld",&rt);
		}
		else if(ch[0]=='Q')
		{
			scanf("%lld",&a);
			//cout<<' '<<a<<' '<<rt<<endl;
			if(a==rt)printf("%lld\n",tree[1]);
			else if(l[a]>l[rt]||r[a]<l[rt])printf("%lld\n",query(1,1,n,l[a],r[a]));
			else
			{
				ll now=rt;
				for(int i=16;i>=0;i--)
				{
					if(dep[fa[now][i]]>dep[a])now=fa[now][i];
				}
				printf("%lld\n",min(query(1,1,n,1,l[now]-1),query(1,1,n,r[now]+1,n)));
			}
		}
	}
}