[MIT6.006] 4. Heaps and Heap Sort 堆，堆排序

第4节课仍然是讲排序，但介绍的是一种很高效的堆排序。

在编程过程中，有时候会需要进行extrat_max的操作，即从一个数列里挨个抽取最大值并将其它从原数列中移除。而排序问题也可以看作是一个extract_max的行为，不断的从原始数列中抽取最大值并进行移除，这样挨个抽取的最大值输出后能得到一个降序的数列。为了实现该排序思路，堆排序被提了出来，首先我们的了解下堆的概念：

堆（Heap）：一个数列被可视化为一个近似完全二叉树，这个树则为堆。如下图所示：

在堆的基础上，有分：最大堆和最小堆。

• 最大堆（Max-Heap）：某节点的key ≥ 子节点的key。
• 最小堆（Min-Heap）：某节点的key ≤ 子节点的key。

为了构建最大堆，有个操作叫max_heapify，它就在子树根（subtree's root）上纠正违反最大堆属性（某节点的key ≥ 子节点的key），下图展示了一个max_heapify的例子。

从上图可以看出，倒数第二行（即n/2个元素）是向下比较一次，倒数第三行（n/4个元素）是向下比较两次，...。（问：为什么倒数第三行是向下比较两次？答：用上图的例子说明，如果倒数第三行的4需要修正最大堆属性，和14换，这是比较一次，而换后的4与8不合最大堆属性，所以又换了一次，这是第二次比较。加起来就两次比较）。那么n/2^k个元素的向下比较了k次，所以MAX_HEAPIFY(A, 跟节点)的复杂度为Οlog₂n（n/2^k≤1）。

对无序数列构建一个大堆堆的方法如下图所示，是以bottom-up的方式，从i=n/2结点位置依次向上遍历进行max_heapify操作。

基于以上的方法，我们可以实现堆排序：

1. 将无序A数列构建一个堆。（Ο(n)）
2. 将堆进行max_heapify修正为最大堆。（Ο(log₂n)）
3. 找到最大值元素A[1]，即当前最大堆的跟节点。（Ο(1)）
4. 将A[1]和堆最后的元素A[n]进行交换。（Ο(1)）
5. 将元素A[n]撤出堆，减少堆大小。（Ο(1)）
6. 现在堆也许会违背最大堆属性，因此重复2-5步骤。（有n steps）

由于A(n)不断撤出，堆大小也会不断改变。复杂度不再是Ο(n + nlog₂n) - 其中n为建堆，nlog₂n中的第一个n是n steps，而第二个log₂n是max_heapify，因为堆大小不断减小时，n和n都在同步减少，这样nlog₂n实际上应为n，最后堆排序的时间复杂度为Ο(n)（Ο(n+n)=Ο(2n)=Ο(n)）。

下图为一个堆排序的例子：