HDU-5781 ATM Mechine（概率DP）

题目大意：某个未知整数x等概率的分布在[0,k]中。每次你都可以从这个整数中减去一个任意整数y，如果x>=y，那么x=x-y，操作次数累计加1；否则，将会受到一次错误提示。当错误提示超过w次，将会对你的人生产生影响。现在，你的任务是将x逐步变为0，求最少操作次数的期望值。
题目分析：概率DP求期望。定义状态dp(k,w)表示整数分布在[0,k]，错误提示次数上限为w时的最少操作次数的期望。
则dp(k,w)=min(p1*dp(k-y,w)+p2*(y-1,w-1))+1，其中p1、p2分别为k>=y、k<y的概率，p1=(k-y+1)/(k+1)、p2=y/(k+1)。因为你非常聪明，所以你每次都会二分的选择要减掉的整数y。根据题目的数据规模，你最多会操作log2(k)+1次，所以你被错误提示的次数最多log2(k)次。这样，便大大减少了状态数目，使得上述方程能够得以实现。

参考代码：

# include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=2000;
const double inf=1e9;

double dp[N+5][13];

void init()
{
	for(int i=0;i<=12;++i)
		dp[0][i]=0;
	for(int i=1;i<=N;++i)
		for(int j=0;j<=12;++j) dp[i][j]=inf;
	for(int i=1;i<=N;++i) for(int j=1;j<=12;++j)
		for(int k=1;k<=i;++k)
			dp[i][j]=min(dp[i][j],1.0*(i-k+1)/(i+1)*dp[i-k][j]+1.0*k/(i+1)*dp[k-1][j-1]+1.0);
}

int main()
{
	init();
	int k,w;
	while(~scanf("%d%d",&k,&w))
	{
		w=min(w,12);
		printf("%.6lf\n",dp[k][w]);
	}
	return 0;
}