Hamming Codes

1. 海明校验码检错采用的是分组交叉奇偶校验法。
     将编码中的数据位分成r个校验组，组内采取奇偶校验，每组一个校验位，可构成r位检错码。r>1
     全部检错码为0表示数据正常，不为零时检错码的值表示编码中出错数据位。

2. 编码方式：每一数据位至少参加2个校验组，一位出错，可引起多个检错码的变化。
    •设海明码 N 位，其中数据位 k 位，校验位 r 位
    •校验位 r 位表示共 r 个校验组
    •N=k+r≤2r－1
    例如我们课上讲的(4,3)编码：4个数据位，3个校验位。其编码如下
           H7 H6 H5 H4 H3 H2 H1
           D4 D3 D2 P3 D1 P2 P1
    包含G3 G2 G1个校验组，P3 P2 P1分属其中一组:
    其中 P1=D1⊕D2⊕D4      P2=D1⊕D3⊕D4      P3=D2⊕D3⊕D4
      G1=P1⊕D1⊕D2⊕D4     G2=P2⊕D1⊕D3⊕D4     G3=P3⊕D2⊕D3⊕D4
   对应的位数: G1(P1,H3,H5,H7) G2(P2,H3,H6,H7) G3(P3,H5,H6,H7)
   然后根据G3G2G1就可以判断出错位。（只能检验纠正一位出错位）

不过貌似老师也没讲具体标志位的位置是怎么确定的，下面是我找到的一些资料：

3. 码字(Code Word) 按如下方法构建：
　　(1)、把所有2的幂次方的数据位标记为奇偶校验位(编号为1, 2, 4, 8, 16, 32, 64等的位置)
　　–（4,3）编码中的P1，P2，P3存放的位置H1，H2，H4
　　(2)、其他数据位用于待编码数据. (编号为3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17等的位置)
　　–（4,3）编码中的D1-D4
　　(3)、每个奇偶校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性，其所在位置决定了要校验和跳过的比特位顺序。
　　　　位置1：校验1位，跳过1位，校验1位，跳过1位(1,3,5,7,9,11,13,15,…)
　　　　位置2：校验2位，跳过2位，校验2位，跳过2位 (2,3,6,7,10,11,14,15,…)
　　　　位置4：校验4位，跳过4位，校验4位，跳过4位 (4,5,6,7,12,13,14,15,20,21,22,23,…)
　　　　位置8：校验8位，跳过8位，校验8位，跳过8位(8-15,24-31,40-47,…)
　　–（4,3）编码中P1=D1⊕D2⊕D4（H1，H3，H5，H7） P2=D1⊕D3⊕D4 P3=D2⊕D3⊕D4

4. 采用偶校验，如果全部校验的位置中有奇数个1，把该奇偶校验位置为1；
　　如果全部校验的位置中有偶数个1，把该奇偶校验位置为0.

5. 小例子：待传送数据（一个字节）：10011010
　　构造海明码, 对应的校验位留空 _ _ 1 _ 0 0 1 _ 1 0 1 0
　　然后计算每个校验位的奇偶性 ：
　　P1检验1,3,5,7,9,11位，发现有偶数个1（自己数数看），所以P1=0；
　　P2检验2,3,6,7,10,11位，发现有奇数个1，所以P2 =1；
　　P3检验4,5,6,7,12位，发现有奇数个1，所以P3 =1；
　　P4检验8,9,10,11,12位，发现有偶数个1，所以P4 =0；
　　因此最后的编码为: 011100101010.
　　假定实际接收到的数据 011100101110. 则第10 位出错。

---------------------------------------------------------------------------------