Leetcode 115.不同的子序列

不同的子序列

给定一个字符串 S 和一个字符串 T，计算在 S 的子序列中 T 出现的个数。

一个字符串的一个子序列是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，"ACE" 是 "ABCDE" 的一个子序列，而 "AEC" 不是）

示例 1:

输入: S = "rabbbit", T = "rabbit"

输出: 3

解释:

如下图所示, 有 3 种可以从 S 中得到 "rabbit" 的方案。

(上箭头符号 ^ 表示选取的字母)

rabbbit

^^^^ ^^

rabbbit

^^ ^^^^

rabbbit

^^^ ^^^

示例 2:

输入: S = "babgbag", T = "bag"

输出: 5

解释:

如下图所示, 有 5 种可以从 S 中得到 "bag" 的方案。

(上箭头符号 ^ 表示选取的字母)

babgbag

^^ ^

babgbag

^^ ^

babgbag

^ ^^

babgbag

^ ^^

babgbag

^^^

动态规划题目。

以S ="rabbbit",T = "rabbit"为例）：

dp[i][j]表示T的从0开始长度为i的子串和S的从0开始长度为j的子串的匹配的个数。

比如, dp[2][3]表示T中的ra和S中的rab的匹配情况。

(1)显然，至少有dp[i][j] = dp[i][j - 1].

比如, 因为T 中的"ra" 匹配S中的 "ra"， 所以dp[2][2] = 1 。 显然T 中的"ra" 也匹配S中的 "rab"，所以s[2][3] 至少可以等于dp[2][2]。

(2) 如果T[i-1] == S[j-1]， 那么dp[i][j] = dp[i][j - 1] + (T[i - 1] == S[j - 1] ? dp[i - 1][j - 1] : 0)；

比如, T中的"rab"和S中的"rab"显然匹配，

根据(1)， T中的"rab"显然匹配S中的"rabb"，所以dp[3][4] = dp[3][3] = 1，

根据(2), T中的"rab"中的b等于S中的"rab1b2"中的b2, 所以要把T中的"rab"和S中的"rab1"的匹配个数累加到当前的dp[3][4]中。 所以dp[3][4] += dp[2][3] = 2;

(3) 初始情况是

dp[0][0] = 1; // T和S都是空串.

dp[0][1 ... S.length() ] = 1; // T是空串，S只有一种子序列匹配。

dp[1 ... T.length() ][0] = 0; // S是空串，T不是空串，S没有子序列匹配。

 class Solution{
 public:
     int numDistinct(string S, string T){
         vector<vector<int>> dp(T.length() + 1, vector<int>(S.length() + 1, 0));
         dp[0][0] = 1;
         for (int i = 1; i<S.length() + 1; i++){
             dp[0][i] = 1;
         }
         for (int i = 1; i<T.length() + 1; i++){
             dp[i][0] = 0;
         }
         for (int i = 1; i<T.length() + 1; i++){
             for (int j = 1; j<S.length() + 1; j++){
                 dp[i][j] = dp[i][j - 1];
                 if (S[j - 1] == T[i - 1]){
                     dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1];
                 }
             }
         }
         return dp[T.length()][S.length()];
     }
 };