2021.05.03 T3 数字

2021.05.03 T3 数字

问题描述

一个数字被称为好数字当他满足下列条件：
1. 它有**2*n**个数位，n是正整数(允许有前导0)
2. 构成它的每个数字都在给定的数字集合S中。
3. 它**前n位之和与后n位之和相等**或者它**奇数位之和与偶数位之和相等**
例如对于n=2,S={1,2}，合法的好数字有1111,1122,1212,1221,2112,2121,2211,2222这样8种。

已知n，求合法的好数字的个数mod 999983。

输入

第一行一个数n。
接下来一个长度不超过10的字符串，表示给定的数字集合。

输出

一行一个数字表示合法的好数字的个数mod 999983。

样例输入

2

0987654321

样例输出

1240

数据范围

对于20%的数据，n≤7。
对于100%的.据,n≤1000,|S|≤10。

分析：

设f[i][j]为当数字规模为i且各数为位数字之和为j时的好数字个数，f[i+1][j+s[k]]的方案数中一定有f[i][j]的方案数，所以f[i+1][j+s[k]]=f[i][j]+f[i+1][j+s[k]]。把左半部分看成一个名为A的位置，把右半部分看成一个名为B的位置，A和B上都有f[i][j]中方案数，则在i与j一定时，一共有A*B种方案数。

把n个数划分为i部分，则i的取值范围是1_{n，当i=0是，A（或B）这一位置上只有一种放法——什么都不放，在这一题就是没有任何方案.当i个位置上所有数字全是9时，j最大，j的取值范围是smini}smaxi,但集合s中不一定有9，所以需要判断一下smax与smin，实际上不用单独找，sort排序一下或直接判断有没有f[i][j]。

前后和相等和奇偶位和相等与每个小位置上具体是哪个数字以及到底有那些数字无关，只与和有关，所以前后和相等的方案数与奇偶位和相等的方案数相等。设总方案数为ans，ans=奇偶位和相等的方案数+前后位和相等的方案数-前后位相等的方案数与奇偶位和相等的方案数的交集。

当前后位和相等的方案数=奇偶位和相等的方案数时，前位奇数位和=后位偶数位和，前位偶数位和=后位奇数位和，当从集合s中选取的数字不变时，前位奇数位和可以做后位奇数位和。设前位奇数位和为C，则与之相对的后位奇数为和为D，则交集方案数为C*D。

PS：

if(f[x][i])fin=(fin+(ll)f[x][i]*f[x][i])%mod;

此处如果先乘后转为long long会爆int，所以不能把ll后面的乘法用括号括住

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 999983
typedef long long ll;
int n,s[12],f[1005][9005];
ll ans=0;
string si;
ll add(int x){
	ll fin=0;
	for(int i=0;i<=x*9;i++)
		if(f[x][i])fin=(fin+(ll)f[x][i]*f[x][i])%mod;
	return fin;
}
int main(){
	freopen("num.in","r",stdin);
	freopen("num.out","w",stdout);
	cin>>n>>si;
	for(int i=0;i<si.size();i++)s[i+1]=si[i]-'0';
	sort(s+1,s+si.size()+1);
	f[0][0]=1;
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=0;j<=n*9;j++){
			if(f[i][j]){
				for(int k=1;k<=si.size();k++){
					f[i+1][j+s[k]]=(f[i+1][j+s[k]]+f[i][j])%mod;
				}
			}
		}
	}
	ans=(2*add(n)-add(n/2)*add(n-n/2))%mod;
	cout<<(ans+mod)%mod;
	return 0;
}