洛谷P4902乘积

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洛谷

题意简述

求\(\prod_{i=A}^B\prod_{j=1}^i \lgroup \frac{i}{j} \rgroup ^{\lfloor \frac{i}{j} \rfloor}\)

sol

我的做法是观察法，首先我们把\(i\)和\(j^{-1}\)分开做，可以看到

\(i\)的是这样的。表格内是每个\(i\)和\(j\)的对应\(i\)的贡献

\(1^1\)
\(2^2\)	\(2^1\)
\(3^3\)	\(3^1\)	\(3^1\)
\(4^4\)	\(4^2\)	\(4^1\)	\(4^1\)
\(5^5\)	\(5^2\)	\(5^1\)	\(5^1\)	\(5^1\)
\(6^6\)	\(6^3\)	\(6^2\)	\(6^1\)	\(6^1\)	\(6^1\)

可以发现第\(i\)行我们只要快速求出指数就可以快速幂了。然后会发现一个神奇的性质，第\(i\)列每过\(i\)就会让指数加\(1\)。这样的话我们给\(i,2i,3i,4i,5i...\)加1，然后前缀和就行了。

要不还是再说清楚点吧。下面这个表是要加的指数。

1
1	1
1	0	1
1	1	0	1
1	0	0	0	1
1	1	1	0	0	1
1	0	0	0	0	0	1
1	1	0	1	0	0	0	1

然后对每列做一遍前缀和。

1
2	1
3	1	1
4	2	1	1
5	2	1	1	1
6	3	2	1	1	1
7	3	2	1	1	1	1
8	4	2	2	1	1	1	1

然后就变回去了，这也许是差分的思想？？？具体实现不需要对每列开数组，丢到一起就OK了。

下面的1,2,3,4,5,6均指 他们的逆元

\(1^1\)
\(1^2\)	\(2^1\)
\(1^3\)	\(2^1\)	\(3^1\)
\(1^4\)	\(2^2\)	\(3^1\)	\(4^1\)
\(1^5\)	\(2^2\)	\(3^1\)	\(4^1\)	\(5^1\)
\(1^6\)	\(2^3\)	\(3^2\)	\(4^1\)	\(5^1\)	\(6^1\)

这是\(j^{-1}\)的贡献。

然后和上面一样搞，但我们直接把这个数乘上去而不是加指数。

相信泥萌都懂了。那么我就贴个代码。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define gt getchar()
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
inline int in()
{
    int k=0;char ch=gt;
    while(ch<'-')ch=gt;
    while(ch>'-')k=k*10+ch-'0',ch=gt;
    return k;
}
const int YL=19260817,N=2e6+5,M=1e6;
inline int ksm(int a,int k){int r=1;while(k){if(k&1)r=1ll*r*a%YL;a=1ll*a*a%YL,k>>=1;}return r;}
inline int MO(const int &a){return a>=YL?a-YL:a;}
int sum[N],sum_i[N],inv[N];
int main()
{
    sum_i[0]=1;
    for(int i=1;i<=M;++i)inv[i]=ksm(i,YL-2);
    for(int i=1;i<=M;++i)
        for(int j=i;j<=M;j+=i)++sum[j];
    for(int i=1;i<=M;++i)sum[i]=(sum[i]+sum[i-1])%(YL-1);
    for(int i=1;i<=M;++i)sum_i[i]=1ll*ksm(i,sum[i])*sum_i[i-1]%YL;
    for(int i=1;i<=M;++i)sum[i]=1;
    for(int i=1;i<=M;++i)
        for(int j=i;j<=M;j+=i)sum[j]=1ll*sum[j]*inv[i]%YL;
    for(int i=2;i<=M;++i)sum[i]=1ll*sum[i]*sum[i-1]%YL;
    for(int i=2;i<=M;++i)sum[i]=1ll*sum[i]*sum[i-1]%YL;
    for(int i=1;i<=M;++i)sum[i]=1ll*sum[i]*sum_i[i]%YL;
    sum[0]=1;
    int t=in();
    while(t--)
    {
        int a=in(),b=in();
        printf("%lld\n",1ll*sum[b]*ksm(sum[a-1],YL-2)%YL);
    }
    return 0;
}