[BZOJ 5072]小A的树

Description

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给你 \(n\) 个节点的一棵树，点分黑白。 \(q\) 组询问，每次询问类似于“是否存在树中 \(x\) 个点的连通块恰有 \(y\) 个黑点”。 \(t\) 组数据。

\(1\leq t\leq 5,1\leq n\leq 5000,q\leq 10^5\)

Solution

由于询问比较多，容易猜到一个结论，就是 \(x\) 个点的连通块能取到黑点的个数一定是完整的一段区间。

就是只要 \(y\geq\) \(x\) 个点的连通块黑点个数的下界，且 \(y\leq\) \(x\) 个点的连通块黑点个数的上界，那么就满足题设条件。

具体证明，大概就是在 \(x\) 个点的连通块中删去边界一个点，再加上另一个不在连通块内的点这样黑点增量（减量）是不大于 \(1\) 的，那么就一定能取到一整段区间内的数。

可以用 \(O(n^2)\) 的树上背包来预处理出这个上界下界。最后 \(O(1)\) 回答询问即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5000+5;

int n, q, d[N], u, v, f[N][N], g[N][N], size[N];
struct tt {int to, next; }edge[N<<1];
int path[N], top;

void dfs(int u, int fa) {
    if (d[u] == 1) f[u][1] = g[u][1] = 1;
    else f[u][1] = g[u][1] = 0;
    size[u] = 1;
    for (int i = path[u], v; ~i; i = edge[i].next)
        if ((v = edge[i].to) != fa) {
            dfs(v, u);
            for (int p = size[u]; p; p--)
                for (int q = size[v]; q; q--)
                    f[u][p+q] = min(f[u][p+q], f[u][p]+f[v][q]),
                    g[u][p+q] = max(g[u][p+q], g[u][p]+g[v][q]);
            size[u] += size[v];
        }
    for (int i = 1; i <= size[u]; i++)
        f[0][i] = min(f[0][i], f[u][i]), g[0][i] = max(g[0][i], g[u][i]);
}
void add(int u, int v) {edge[++top] = (tt){v, path[u]}; path[u] = top; }
void work() {
    memset(path, top = -1, sizeof(path));
    scanf("%d%d", &n, &q);
    for (int i = 1; i < n; i++) scanf("%d%d", &u, &v), add(u, v), add(v, u);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &d[i]);
    memset(f, 127/3, sizeof(f)), memset(g, 0, sizeof(g));
    dfs(1, 0);
    while (q--) {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        if (f[0][u] <= v && v <= g[0][u]) puts("YES");
        else puts("NO");
    }
    puts("");
}
int main() {int t; cin >> t; while (t--) work(); return 0; }