MT【180】齐次化+换元

已知实数$a,b$满足$a^2-ab-2b^2=1,$则$a^2+b^2$的取值范围_____

解答:
$\textbf{方法一}$
由已知得$(a-2b)(a+b)=1$,设$x=a-2b,y=a+b$,则$xy=1,a=\dfrac{x+2y}{3},b=\dfrac{y-x}{3}$,
得$a^2+b^2=\dfrac{2x^2+5y^2+2}{9}\ge\dfrac{2\sqrt{10}+2}{9}$
$\textbf{方法二}$
齐次化$t=\dfrac{a^2+b^2}{a^2-ab-2b^2}$
得$(t-1)a^2-tab+(-2t-1)b^2=0,\Delta=t^2-4(t-1)(-2t-1)=9t^2-4t-4\ge0$
得$t\ge\dfrac{2\sqrt{10}+2}{9}$