HZNU-ACM寒假集训Day7小结 背包DP

背包问题

01背包

状态：f(i,j) 表示只能装前i个物品的情况下，容量为j的背包所能达到的最大总价值

状态转移方程：  f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-w[i])+v[i])

核心代码（滚动数组） 由于我们使用一维数组存储，则在求两个子问题时没有直接取出那么方便了，因为第i次循环可能覆盖第i-1次循环的结果

“相反，如果在执行第 i 次循环时，背包容量按照0..V的顺序遍历一遍，来检测第 i 件物品是否能放。此时在执行第i次循环 且 背包容量为v时，此时的f[v]存储的是 f[i - 1][v] ，但是，此时f[v-weight[i]]存储的是f[i][v-weight[i]]。

因为，v  > v - weight[i]，第i次循环中，执行背包容量为v时，容量为v - weight[i]的背包已经计算过，即f[v - weight[i]]中存储的是f[i][v - weight[i]]。即，对于01背包，按照增序枚举背包容量是不对的。”

for (int i = ; i <= n; i++) {
    for (int j = m; j >= w[i]; j--) {
        f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);
    }
}

但是，增序枚举会达到什么效果：它会重复的装入某个物体，而且尽可能的多使价值增大

01背包方案数问题

洛谷P1164 小A点菜   https://www.luogu.com.cn/problem/P1164

“

开个玩笑，这是一道简单的动规题，定义f[i][j]为用前i道菜用光j元钱的办法总数，其状态转移方程如下：

（1）if(j==第i道菜的价格)f[i][j]=f[i-1][j]+1;

（2）if(j>第i道菜的价格) f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-第i道菜的价格];

（3）if(j<第i道菜的价格) f[i][j]=f[i-1][j];

”

code1

const int maxn = ;
int n, m, w[maxn], f[maxn][];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = ; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &w[i]);
    }
    for (int i = ; i <= n; i++) {
        f[i][] = ;
    }

    for (int i = ; i <= n; i++) {
        for (int j = ; j <= m; j++) {
            f[i][j] += f[i - ][j];
            if (j >= w[i]) f[i][j] += f[i - ][j - w[i]];
        }
    }

    printf("%d", f[n][m]);
    return ;
}

code2

const int maxn = ;
int n, m, w[maxn], f[];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = ; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &w[i]);
    }
    f[] = ;

    for (int i = ; i <= n; i++) {
        for (int j = m; j >= w[i]; j--) {
            f[j] += f[j - w[i]];
        }
    }
    printf("%d", f[m]);
    return ;
}

:

完全背包问题

状态转移方程： f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i,j-w[i])+v[i])  理由是当我们这样转换时，f(i,j-w[i])已经由f(i,j-2*w[i]) 更新过，那么f(i,j-w[i])就是充分考虑了第i件物品后的最优结果换言之，我们通过局部最优子结构的性质重复使用了之前的枚举过程，优化了枚举的复杂度。

for (int i = ; i <= n; i++) {
    for (int j = w[i]; j <= m; j++) {
        f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);
    }
}

多重背包问题

考虑二进制优化

时间复杂度O(NWlog∑mi​)

luogu P1776 宝物筛选https://www.luogu.com.cn/problem/P1776

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;

const int maxn = ;
const int maxm = ;

int n, m, ans, cnt = ;
int f[maxn];
int w[maxn], v[maxn];

int main() {
    int a, b, c;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = ; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        for (int j = ; j <= c; j << ) {
            v[++cnt] = j * a;
            w[cnt] = j * b;
            c -= j;
        }
        if (c) v[++cnt] = a * c, w[cnt] = b * c;  //二进制优化 拆分
    }
    for (int i = ; i <= cnt; i++) {
        for (int j = m; j >= w[i]; j--) {
            f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);
        }
    }
    printf("%d\n", f[m]);
    return ;
}

HDU 2844 Coins(多重背包）

注意：本题只关注“可行性”

因此不妨变换思路求解

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;

int vis[];
int a[];
int c[];
int f[];

int main() {
    int n, m;
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
        if (n == m && n == ) break;
        memset(f, , sizeof f);
        f[] = ;
        for (int i = ; i<=n; i++) scanf("%d", &a[i]);
        for (int i = ; i <=n; i++) scanf("%d", &c[i]);
        for (int i = ; i <=n; i++) {
            memset(vis, , sizeof vis);
            for (int v = a[i]; v <= m; v++) {
                if ((!f[v]) && (vis[v-a[i]] < c[i]) && f[v - a[i]]) {
                    vis[v] = vis[v - a[i]] + ;
                    f[v] = ;
                }
            }
        }
        int cnt = ;
        for (int i = ; i <= m; i++) if (f[i]) cnt++;
        printf("%d\n", cnt);
    }
    return ;
}

分组背包  （三重循环）

状态转移方程 f(k,v)=max(f(k-1,v),f(k-1,v-ci)+wi|i属于group k)

时间复杂度O（NV)

HDU1712 ACboy needs your help

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;

int mp[][];
int f[];
int main() {
    int n, m;
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
        memset(f, , sizeof f);
        if (n ==  && n == m) break;
        for (int i = ; i <=n; i++) {
            for (int j = ; j <=m; j++) {
                scanf("%d", &mp[i][j]);
            }
        }
        for (int i = ; i <=n; i++) {
            for (int v = m; v>=; v--) {
                for (int j =; j <=m; j++) {
                    if(v>=j) f[v] = max(f[v], f[v - j] + mp[i][j]);
                }
            }
        }
        printf("%d\n", f[m]);
    }
    return ;
}

初始化问题：

“初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。

如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。

如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。”