循环冗余码crc

待编码的有效信息组多项式：M(x)

生成多项式（产生校验码的多项式）：G(x)

余数多项式：R(x)

商：Q(x)

生成多项式是四次的，所以某个多项式除以生成多项式的余式肯定是三次的，所以要加四位0000。

生成多项式的选择是经过实际应用选择出来的，要满足一定的要求。

R(x)为r阶，在M(x)后面添上r个0（R(x)有r + 1 位）。

M(x)*x^k = Q(x)*G(x) + R(x)

模2运算

crc码是基于模2运算而建立编码规律的校验码。模2运算的特点是不考虑进位和借位的运算。其规律如下：

1、模2加和模2减的结果是相等的，即：0 +/- 1 = 1， 0 +/- 0 = 0， 1 +/- 0 = 1， 1 +/- 1 = 0。两个相同的数的模2和恒为0。

2、模2乘是按模2和求部分积之和。（和十进制乘法类似）

3、模2除是按模2减求部分余数。每求一位商应使部分余数减少一位。上商的原则是：当部分余数的首位为1时，上商1；当部分余数的首位为0时，上商0。当部分余数的位数小于除数的位数时，该余数即为最后余数。

               1 1 1 0
            ────────
1 0 1 1〕1 1 0 0 1 0 0
          －1 0 1 1
             ──────
               1 1 1 1
           － 1 0 1 1
              ──────
                 1 0 0 0
             － 1 0 1 1
                ──────
                   0 1 1 0
               － 0 0 0 0
                  ──────
                     1 1 0

例如M(x)=1100

G(x)=1011

用1100000 除以 1011得crc码为1100010

有效信息为4位，校验位为3位，所以有称为(7,4)码。

校验方法：

将收到的循环校验码用约定的生成多项式G(x)去除，如果无错，则余数应为0；如果某一位出错，则余数不为0，不同的出错为对应不同的余数。对余数补0后继续除下去，余数将按照一定的序列循环下去（循环码的由来）。

具体可参考：http://bbs.csdn.net/topics/50365367

以下是在这个网站摘录的笔记：

CRC校验码的编码方法是用待发送的二进制数据t（x）除以生成多项式g（x），将最后的余数作为CRC校验码。其实现步骤如下：
（1） 设待发送的数据块是m位的二进制多项式t（x），生成多项式为r阶的g（x）。在数据块的末尾添加r个0，数据块的长度增加到m+r位，对应的二进制多项式为 。
（2） 用生成多项式g（x）去除 ，求得余数为阶数为r-1的二进制多项式y（x）。此二进制多项式y（x）就是t（x）经过生成多项式g（x）编码的CRC校验码。
（3） 用 以模2的方式减去y（x），得到二进制多项式 。 就是包含了CRC校验码的待发送字符串。
从CRC的编码规则可以看出，CRC编码实际上是将代发送的m位二进制多项式t（x）转换成了可以被g（x）除尽的m+r位二进制多项式 ，所以解码时可
以用接受到的数据去除g（x），如果余数位零，则表示传输过程没有错误；如果余数不为零，则在传输过程中肯定存在错误。许多CRC的硬件解码电路就是按这
种方式进行检错的。同时 可以看做是由t（x）和CRC校验码的组合，所以解码时将接收到的二进制数据去掉尾部的r位数据，得到的就是原始数据。
为了更清楚的了解CRC校验码的编码过程，下面用一个简单的例子来说明CRC校验码的编码过程。由于CRC-32、CRC-16、CCITT和CRC-4的编码过程基本一致，只有位数和生成多项式不一样。为了叙述简单，用一个CRC-4编码的例子来说明CRC的编码过程。
设待发送的数据t（x）为12位的二进制数据100100011100；CRC-4的生成多项式为g（x）= ，阶数r为4，即10011。首先在
t（x）的末尾添加4个0构成 ，数据块就成了1001000111000000。然后用g（x）去除 ，不用管商是多少，只需要求得余数y（x）。下表
为给出了除法过程。
除数次数 被除数/ g（x）/结果     余数
0  1 001000111000000 100111000000
 1 0011
 0 000100111000000
1  1 00111000000   1000000
 1 0011 
 0 00001000000
2  1 000000 1100
 1 0011
 0 001100

从上面表中可以看出，CRC编码实际上是一个循环移位的模2运算。对CRC-4，我们假设有一个5 bits的寄存器，通过反复的移位和进行CRC的除法，那么最终该寄存器中的值去掉最高一位就是我们所要求的余数。所以可以将上述步骤用下面的流程描述：
//reg是一个5 bits的寄存器
把reg中的值置0. 
把原始的数据后添加r个0. 
While (数据未处理完) 
Begin 
If (reg首位是1) 
reg = reg XOR 0011. 
把reg中的值左移一位，读入一个新的数据并置于register的0 bit的位置。 
End
reg的后四位就是我们所要求的余数。
这种算法简单，容易实现，对任意长度生成多项式的G（x）都适用。在发送的数据不长的情况下可以使用。但是如果发送的数据块很长的话，这种方法就不太适合
了。它一次只能处理一位数据，效率太低。为了提高处理效率，可以一次处理4位、8位、16位、32位。由于处理器的结构基本上都支持8位数据的处理，所以
一次处理8位比较合适。
为了对优化后的算法有一种直观的了解，先将上面的算法换个角度理解一下。在上面例子中，可以将编码过程看作如下过程：
 由于最后只需要余数，所以我们只看后四位。构造一个四位的寄存器reg，初值为0，数据依次移入reg0（reg的0位），同时reg3的数据移出
reg。有上面的算法可以知道，只有当移出的数据为1时，reg才和g（x）进行XOR运算；移出的数据为0时，reg不与g（x）进行XOR运算，相当
与和0000进行XOR运算。就是说，reg和什么样的数据进行XOR移出的数据决定。由于只有一个bit，所以有 种选择。上述算法可以描述如下，
//reg是一个4 bits的寄存器
初始化t[]={0011,0000}
把reg中的值置0. 
把原始的数据后添加r个0. 
While (数据未处理完) 
Begin 
把reg中的值左移一位，读入一个新的数据并置于register的0 bit的位置。
reg = reg XOR t[移出的位]
End
上面算法是以bit为单位进行处理的，可以将上述算法扩展到8位，即以Byte为单位进行处理，即CRC-32。构造一个四个Byte的寄存器reg，初
值为0x00000000，数据依次移入reg0（reg的0字节，以下类似），同时reg3的数据移出reg。用上面的算法类推可知，移出的数据字节决
定reg和什么样的数据进行XOR。由于有8个bit，所以有 种选择。上述算法可以描述如下：
//reg是一个4 Byte的寄存器
初始化t[]＝{…}//共有 ＝256项
把reg中的值置0. 
把原始的数据后添加r/8个0字节. 
While (数据未处理完) 
Begin 
把reg中的值左移一个字节，读入一个新的字节并置于reg的第0个byte的位置。
reg = reg XOR t[移出的字节]
End
算法的依据和多项式除法性质有关。如果一个m位的多项式t（x）除以一个r阶的生成多项式g（x）， ，将每一位 （0=<k<m）提出来，
在后面不足r个0后，单独去除g（x），得到的余式位 。则将 后得到的就是t（x）由生成多项式g（x）得到的余式。对于CRC-32，可以将每个字节
在后面补上32个0后与生成多项式进行运算，得到余式和此字节唯一对应，这个余式就是上面算法种t[]中的值，由于一个字节有8位，所以t[]共
有 ＝256项。多项式运算性质可以参见参考文献[1]。这种算法每次处理一个字节，通过查表法进行运算，大大提高了处理速度，故为大多数应用所采用。

摘自：循环冗余校验 CRC的算法分析和程序实现
西南交通大学计算机与通信工程学院  刘东