算法笔记--数位dp

算法笔记

这个博客写的不错：http://blog.csdn.net/wust_zzwh/article/details/52100392

数位dp的精髓是不同情况下sta变量的设置。

模板：

int a[];
ll dp[][state];//不同题目状态不同
ll dfs(int pos,/*state变量*/,bool lead/*前导零*/,bool limit/*数位上界变量*/)//不是每个题都要判断前导零
{
    //递归边界，既然是按位枚举，最低位是0，那么pos==-1说明这个数我枚举完了
    if(pos==-) return ;/*这里一般返回1，表示你枚举的这个数是合法的，那么这里就需要你在枚举时必须每一位都要满足题目条件，也就是说当前枚举到pos位，一定要保证前面已经枚举的数位是合法的。不过具体题目不同或者写法不同的话不一定要返回1 */
    //第二个就是记忆化(在此前可能不同题目还能有一些剪枝)
    if(!limit && !lead && dp[pos][state]!=-) return dp[pos][state];
    /*常规写法都是在没有限制的条件记忆化，这里与下面记录状态是对应，具体为什么是有条件的记忆化后面会讲*/
    int up=limit?a[pos]:;//根据limit判断枚举的上界up;这个的例子前面用213讲过了
    ll ans=;
    //开始计数
    for(int i=;i<=up;i++)//枚举，然后把不同情况的个数加到ans就可以了
    {
        if() ...
        else if()...
        ans+=dfs(pos-,/*状态转移*/,lead && i==,limit && i==a[pos]) //最后两个变量传参都是这样写的
        /*这里还算比较灵活，不过做几个题就觉得这里也是套路了
        大概就是说，我当前数位枚举的数是i，然后根据题目的约束条件分类讨论
        去计算不同情况下的个数，还有要根据state变量来保证i的合法性，比如题目
        要求数位上不能有62连续出现,那么就是state就是要保存前一位pre,然后分类，
        前一位如果是6那么这意味就不能是2，这里一定要保存枚举的这个数是合法*/
    }
    //计算完，记录状态
    if(!limit && !lead) dp[pos][state]=ans;
    /*这里对应上面的记忆化，在一定条件下时记录，保证一致性，当然如果约束条件不需要考虑lead，这里就是lead就完全不用考虑了*/
    return ans;
}
ll solve(ll x)
{
    int pos=;
    while(x)//把数位都分解出来
    {
        a[pos++]=x%;//个人老是喜欢编号为[0,pos),看不惯的就按自己习惯来，反正注意数位边界就行
        x/=;
    }
    return dfs(pos-/*从最高位开始枚举*/,/*一系列状态 */,true,true);//刚开始最高位都是有限制并且有前导零的，显然比最高位还要高的一位视为0嘛
}
int main()
{
    ll le,ri;
    while(~scanf("%lld%lld",&le,&ri))
    {
        //初始化dp数组为-1,这里还有更加优美的优化,后面讲
        printf("%lld\n",solve(ri)-solve(le-));
    }
}  

例题1：HDU 2089 不要62

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define pb push_back
#define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
int a[];
int dp[][];

int dfs(int pos,int pre,int sta,bool limit)
{
    if(pos==-)return ;
    if(!limit&&dp[pos][sta]!=-) return dp[pos][sta];
    int up=limit?a[pos]:;
    int t=;
    for(int i=;i<=up;i++)
    {
        if(pre==&&i==)continue;
        if(i==)continue;
        t+=dfs(pos-,i,i==,limit&&i==a[pos]);
    }
    if(!limit)dp[pos][sta]=t;
    return t;
}

int solve(int n)
{
    int pos=;
    while(n)
    {
        a[pos++]=n%;
        n/=;
    }
    return dfs(pos-,-,,true);
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie();
    int l,r;
    while(cin>>l>>r&&(l||r))
    {
        mem(dp,-);
        cout<<solve(r)-solve(l-)<<endl;
    }
    return ;
} 

例题2：POJ 3252 Round Numbers

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define pb push_back
#define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define pi acos(-1.0)

const int INF=0x3f3f3f3f;
int a[];
int dp[][];

int dfs(int pos,int sta,bool lead,bool limit)
{
    if(pos==-)return sta>=;
    if(!lead&& !limit&&dp[pos][sta]!=-)return dp[pos][sta];
    int up=limit?a[pos]:;
    int ans=;
    for(int i=;i<=up;i++)
    {
        if(lead&&i==)ans+=dfs(pos-,sta,true,limit&&i==a[pos]);//有前导零不算进sta里
        else ans+=dfs(pos-,sta+(i==?:-),false,limit&&i==a[pos]);
    }
    if(!lead&& !limit)dp[pos][sta]=ans;
    return ans;
}

int solve(int n)
{
    int c=;
    while(n)
    {
        a[c++]=n&;
        n>>=;
    }
    return dfs(c-,,true,true);
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie();
    int a,b;
    mem(dp,-);
    cin>>a>>b;
    cout<<solve(b)-solve(a-)<<endl;
    return ;
}

例题3：HDU 3555 Bomb

方法1：和例题1差不多，先求出不含49的个数，然后再用n+1减去这个个数就是答案

代码1：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define pb push_back
#define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define pi acos(-1.0)

const int INF=0x3f3f3f3f;
ll dp[][];
int a[];

ll dfs(int pos,int pre,int sta,bool limit)
{
    if(pos==-)return ;
    if(!limit&&dp[pos][sta]!=-)return dp[pos][sta];
    ll ans=;
    int up=limit?a[pos]:;
    for(int i=;i<=up;i++)
    {
        if(pre==&&i==)continue;
        ans+=dfs(pos-,i,i==,limit&&i==a[pos]);
    }
    if(!limit)dp[pos][sta]=ans;
    return ans;
}
ll solve(ll n)
{
    int c=;
    while(n)
    {
        a[c++]=n%;
        n/=;
    }
    return dfs(c-,,,true);
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie();
    int t;
    ll n;
    cin>>t;
    mem(dp,-);
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        cout<<n-solve(n)+<<endl;
    }
    return ;
}

方法2：直接求含49的个数

代码2：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define pb push_back
#define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define pi acos(-1.0)
int a[];
ll dp[][];

ll dfs(int pos,int sta,bool limit)//sta:0：前1位不是4且前面没出现过49；1：前1位是4；2：前面出现过49
{
    if(pos==-) return sta==;
    if(!limit&&dp[pos][sta]!=-)return dp[pos][sta];
    ll ans=;
    int up=limit?a[pos]:;
    for(int i=;i<=up;i++)
    {
        int tsta;
        if(sta==)
        {
            if(i==)tsta=;
            else tsta=;
        }
        else if(sta==)
        {
            if(i==)tsta=;
            else if(i==)tsta=;
            else tsta=;
        }
        else tsta=;
        ans+=dfs(pos-,tsta,limit&&i==a[pos]);
    }
    if(!limit)dp[pos][sta]=ans;
    return ans;
}

ll solve(ll n)
{
    int c=;
    while(n)
    {
        a[c++]=n%;
        n/=;
    }
    return dfs(c-,,true);
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie();
    int t;
    ll n;
    mem(dp,-);
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        cout<<solve(n)<<endl;
    }
    return ;
} 

例题4：HDU 3652 B-number

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define pb push_back
#define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define pi acos(-1.0)

const int INF=0x3f3f3f3f;
int dp[][][];
int a[];

int dfs(int pos,int mod,int sta,bool limit)//sta表示：0：前一位不为 1且前面没有出现过13；1：前一位为1；2：前面出现过13。
{
    if(pos==-) return (mod==)&&(sta==);
    if(!limit&&dp[pos][mod][sta]!=-)return dp[pos][mod][sta];
    int ans=;
    int up=limit?a[pos]:;
    for(int i=;i<=up;i++)
    {
        int tmod=(mod*+i)%;
        int tsta;
        if(sta==)tsta=;
        else if(sta==)
        {
            if(i==)tsta=;
            else if(i==)tsta=;
            else tsta=;
        }
        else if(sta==)
        {
            if(i==)tsta=;
            else tsta=;
        }
        ans+=dfs(pos-,tmod,tsta,limit&&i==a[pos]);
    }
    if(!limit)dp[pos][mod][sta]=ans;
    return ans;
}

int solve(int n)
{
    int c=;
    while(n)
    {
        a[c++]=n%;
        n/=;
    }
    return dfs(c-,,,true);
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie();

    int n;
    mem(dp,-);
    while(cin>>n)
    {
        cout<<solve(n)<<endl;
    }
    return ;
}

例题5：Codeforces 55D - Beautiful numbers

数位dp+数论+离散化

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define pb push_back
#define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define pi acos(-1.0)
ll dp[][][];
int a[];
int m[];

int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

int lcm(int a,int b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;
}

ll dfs(int pos,int num,int prelcm,bool limit)
{
    if(pos==-) return num%prelcm==;
    if(!limit&&dp[pos][m[prelcm]][num]!=-) return dp[pos][m[prelcm]][num];
    ll ans=;
    int up=limit?a[pos]:;
    for(int i=;i<=up;i++)
    {
        ans+=dfs(pos-,(num*+i)%,i?lcm(prelcm,i):prelcm,limit&&i==a[pos]);
    }
    if(!limit) dp[pos][m[prelcm]][num]=ans;
    return ans;
}

ll solve(ll n)
{
    int c=;
    while(n)
    {
        a[c++]=n%;
        n/=;
    }
    return dfs(c-,,,true);
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie();
    int t;
    ll l,r;
    int c=;//要从1开始啊，因为m[0]=0
    for(int i=;i<=;i++)
    {
        if(%i==)m[i]=c++;
    }
    mem(dp,-);
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>l>>r;
        cout<<solve(r)-solve(l-)<<endl;
    }
    return ;
}

例题6：