推荐系统之矩阵分解及C++实现

1.引言

矩阵分解(Matrix Factorization, MF)是传统推荐系统最为经典的算法，思想来源于数学中的奇异值分解(SVD), 但是与SVD 还是有些不同，形式就可以看出SVD将原始的评分矩阵分解为3个矩阵，而推荐本文要介绍的MF是直接将一个矩阵分解为两个矩阵，一个包含Users 的因子向量，另一个包含着Items 的因子向量。

2.原理简介

假如电影分为三类：动画片，武打片，纪录片，而某一部电影对应这三类的隶属度分别为 0, 0.2, 0.7,可以看出这是一部纪录片里面有些武打成分，现在给定某个用户对着三类电影的喜欢程度用0 到1 之间的值表示分别为 0.1,0.6,0.2, 可以看出该用户最喜欢武打片，而不怎么喜欢其他两种，于是可以预测用户对刚才的电影打分（喜欢程度）为：0*0.1+0.2*0.6+0.7*0.2 = 0.26

矩阵分解的动机来源于此，因为利用用户的历史评分矩阵（参考我的上一篇推荐系统之协同过滤的原理及C++实现），如果能够得到反映每一用户的对每个Item喜好的因子向量，同时得到每个Item 属于每一类的隶属度向量，利用上面的方法就很容易得出每个用户对每个Item的预测评分，利用这个评分的高低就可以进行推荐高分的Items给相应的用户了.

例如这个10*10的历史评分矩阵A, 可以分解为一个10 * 5 的矩阵 B 乘以一个5 * 10 的矩阵 C ,这样可以把 B 看做是用户偏好矩阵，里面包含着用户对每一类Items 的偏好程度的向量，B 的转置看作是包含着衡量每一个Item 属于5类的隶属度的向量，当然这个 5 可以是自己设定的任意值，但是原则上要求要比原来的矩阵A中的列数或者行数小 ，起到一个降维的作用。B 和 C的初始值可以随机初始化，然后B和C相乘得到评分，与历史真实评分对比，通过梯度下降算法不断调整B和C中的值，使得B和C相乘后得到的矩阵与真实的历史评分矩阵之间的差别越小越好，最终得到较好的B 和C 就可以用来预测用户对任意Item的评分了，更加详细的解释参考：Matrix_factorization_techniques_for_recommender_systems.pdf

3.实现

本次实现的是一个带偏置的矩阵分解，数据集是movielens.rar，已经处理成了矩阵形式

读取和保存txt数据的头文件

 #ifndef READANDWRITEDATA_H
 #define READANDWRITEDATA_H
 #include <iostream>
 #include <fstream>
 #include <vector>
 #include <string>

 using namespace std;

 template <typename T>
 vector<vector<T> > txtRead(string FilePath,int row,int col)
 {
     ifstream input(FilePath);
     if (!input.is_open())
     {
         cerr << "File is not existing, check the path: \n" <<  FilePath << endl;
         exit();
     }
     vector<vector<T> > data(row, vector<T>(col,));
     for (int i = ; i < row; ++i)
     {
         for (int j = ; j < col; ++j)
         {
             input >> data[i][j];
         }
     }
     return data;
 }

 template<typename T>
 void txtWrite(vector<vector<T> > Matrix, string dest)
 {
     ofstream output(dest);
     vector<vector<T> >::size_type row = Matrix.size();
     vector<T>::size_type col = Matrix[].size();
     for (vector<vector<T> >::size_type i = ; i < row; ++i)
     {
         for (vector<T>::size_type j = ; j < col; ++j)
         {
             output << Matrix[i][j];
         }
         output << endl;
     }
 }
 #endif

评价函数，这里还是采用RMSE来评价

 #ifndef EVALUATE_H
 #define EVALUATE_H
 #include <cmath>
 #include <vector>
 using namespace std;
 double ComputeRMSE(vector<vector<double> > predict, vector<vector<double> > test)
 {
     int Counter = ;
     double sum = ;
     for (vector<vector<double> >::size_type i = ; i < test.size(); ++i)
     {
         for (vector<double>::size_type j = ; j < test[].size(); ++j)
         {
             if (predict[i][j] && test[i][j])
             {
                 ++Counter;
                 sum += pow((test[i][j] - predict[i][j]), );
             }
         }
     }
     return sqrt(sum / Counter);
 }

 #endif

最后是主程序

 #include "Evaluate.h"
 #include "ReadAndWriteData.h"

 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <iostream>

 using namespace std;

 double InnerProduct(vector<double> A, vector<double> B) //计算两个向量的内积
 {
     double res = ;
     for(vector<double>::size_type i = ; i < A.size(); ++i)
     {
         res += A[i] * B[i];
     }
     return res;
 }

 template<typename T> //对矩阵（二维数组）进行转置操作
 vector<vector<T> > Transpose(vector<vector<T> > Matrix)
 {
     unsigned row = Matrix.size();
     unsigned col = Matrix[].size();
     vector<vector<T> > Trans(col,vector<T>(row,));
     for (unsigned i = ; i < col; ++i)
     {
         for (unsigned j = ; j < row; ++j)
         {
             Trans[i][j] = Matrix[j][i];
         }
     }
     return Trans;
 }

 vector<vector<double> > BiasedMF(vector<vector<double> >  train, double lr, double penalty,
     int maxItr)
 {
     unsigned row = train.size();
     unsigned col = train[].size();
     //计算全局平均分
     double avg = ;
     int Counter = ;
     for (unsigned i = ; i < row; ++i)
     {
         for(unsigned j = ; j < col; ++j)
         {
             if (train[i][j])
             {
                 avg += train[i][j];
                 ++Counter;
             }
         }
     }
     avg /= Counter;
     //初始化Items偏置
     vector<double> ItemsBias(col,);
     vector<vector<double> > Transtrain = Transpose(train);
     for (unsigned i = ; i < col; ++i)
     {
         int Counter = ;
         double sum  = ;
         for (unsigned j = ; j < row; ++j)
         {
             if (Transtrain[i][j])
             {
                 sum +=  Transtrain[i][j] - avg;
                 ++Counter;
             }

         }
         ItemsBias[i] = sum / ( + Counter);
     }

     //初始化Users偏置
     vector<double> UsersBias(row, );
     for (unsigned i = ; i < row; ++i)
     {
         int Counter = ;
         double sum  = ;
         for (unsigned j = ; j < col; ++j)
         {
             if (train[i][j])
             {
                 sum +=  train[i][j] - avg - ItemsBias[j];
                 ++Counter;
             }
         }
         UsersBias[i] = sum / ( + Counter);
     }

     //初始化Users和Items对应的矩阵
     unsigned k = ;
     vector<vector<double> > predict(row,vector<double>(col, ));
     vector<vector<double> > Users(row, vector<double>(k, ));
     vector<vector<double> > Items(col, vector<double>(k, ));

     //梯度下降迭代
     double rmse = ;
     int it = ;
     while(it < maxItr)
     {
         for (unsigned i = ; i < row; ++i)
         {
             for (unsigned j = ; j < col; ++j)
             {
                 predict[i][j] = InnerProduct(Users[i],Items[j]) + UsersBias[i]
                             + ItemsBias[j];
             }
         }
         double new_rmse = ComputeRMSE(predict, train);
         if (new_rmse < rmse)
             rmse = new_rmse;
         cout << "第 "<< it << "次迭代:" << endl;
         cout << "rmse is: " << rmse << endl;
         for (unsigned i = ; i < row; ++i)
         {
             for (unsigned j = ; j < col; ++j)
             {
                 if (train[i][j])
                 {
                     double err = train[i][j] - predict[i][j];
                     //更新User i 和Item j 的因子向量
                     for (unsigned t = ; t < k; ++t)
                     {
                         double tmp = Users[i][t];
                         Users[i][t] += lr *(err * Items[j][t] - penalty * Users[i][t]);
                         Items[j][t] += lr * (err * tmp - penalty * Items[j][t]);
                     }
                     //更新User i和Item j的偏差
                     double tmp =  UsersBias[i] + ItemsBias[j] - avg;
                     UsersBias[i] += lr * (err - penalty * tmp);
                     ItemsBias[j] += lr * (err - penalty * tmp);
                 }
             }
         }
         ++it;
     }
     return predict;
 }

 int main()
 {
   
     string FilePath1("E:\\Matlab code\\recommendation system\\data\\movielens\\train.txt");
     string FilePath2("E:\\Matlab code\\recommendation system\\data\\movielens\\test.txt");

     int row = ;
     int col = ;
     vector<vector<double> > train = txtRead<double>(FilePath1, row, col);
     vector<vector<double> > predict = BiasedMF(train, 0.001, 0.003,);
     txtWrite(predict, "predict.txt");
     vector<vector<double> > test = txtRead<double>(FilePath2, , );
     double rmse = ComputeRMSE(predict,test);
     cout << "ProbeRMSE is " << rmse <<endl;
     return ;
 }

4.运行

下面是运行过程中的截图，可以看出运行过程中RMSE逐渐减小，表示与真实的历史评分矩阵差别在减小，由于时间关系没有运行完，根据以前在Matlab上的运行结果，最终的RMSE应该可以达到0.92左右，当然这只是在训练集上的RMSE，最终效果要测出在测试集上的RMSE, 要比上一篇讲到的基于用户的协同过滤好一些，关于用户和Items因子向量的初始化会对结果有一定影响，本文中只是全部初始化为0其实不太好，有兴趣的读者可以自己尝试其他分布函数来初始化，但是总体上不会有什么太大的影响，有什么问题可以联系我。