[CSP-S模拟测试]:chinese（数学）

题目传送门（内部题25）

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输入格式

一行三个整数$n,m,k$。

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输出格式

一行一个整数表示答案。

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样例

样例输入：

2 2 2

样例输出：

8

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数据范围与提示

样例解释：

$f_0=10,f_1=4,f_2=2,f_3=f_4=0$。

数据范围：

对于所有数据，$2\leqslant n,m\leqslant {10}^9,1\leqslant k\leqslant {10}^6$。

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题解

考虑$\sum \limits_{i=0}^{nm}i\times f_i$的意义：所有方案中炼字的个数之和。
统计答案时可以考虑$[1,k]$每个字对答案的贡献，即每个字在多少种方案中成为炼字。在方格的一个确定位置$(x,y)$，字符$i$对答案的贡献（$(x,y)$位置的数是$i$且$i$是炼字的方案数）是${(i−1)}^{n−1}{(i − 1)}^{m−1}k^{nm−n−m+1}$。由于诗作中的所有位置都是等价的，那么最后的答案就是

$nm\sum \limits_{i=1}^k {(i−1)}^{n−1} {(i− 1)}^{m−1} k^{nm−n−m+1}$。
时间复杂度：$\Theta(k)$。
期望得分：$100$分。
实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,k;
long long ans;
long long qpow(long long x,long long y)
{
	long long res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)res=res*x%1000000007;
		x=x*x%1000000007;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i<=k;i++)ans=(ans+qpow(i-1,n+m-2)*qpow(k,n*m-n-m+1)%1000000007)%1000000007;
	ans=ans*n%1000000007*m%1000000007;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

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rp++