Codeforces Round #198 (Div. 1 + Div. 2)

A. The Wall

• 求下gcd即可。

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B. Maximal Area Quadrilateral

• 枚举对角线，根据叉积判断顺、逆时针方向构成的最大面积。
• 由于点坐标绝对值不超过1000，用int比较快。

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C. Tourist Problem

• 假设序列为\(p_1,p_2,...,p_n\)，则距离总和为\(，，，p_1，|p_2-p_1|,...,|p_n-p_{n-1}|\)。
• 第1个点\(p_1\)的贡献为\(\sum a_i(n-1)!\)
• \(|p_i-p_{i-1}|\)的贡献为\(|p_i-p_{i-1}|(n-1)(n-2)!\)
• 对于\(a_i\)排序，可以计算所有\(p_i-p_{i-1},p_i>p_{i-1}\)的总和，乘以2即所有\(|p_i-p_{i-1}|\)的总和。

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D. Bubble Sort Graph

• 对于所有\(i<j, a_i>a_j\)的点对来说，冒泡排序最终都会交换这两个数，即存在连边。
• 最大独立集显然就是最长上升序列的长度。

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E. Iahub and Permutations

• \(dp，O(n^2)\)做法：
  1. \(dp(n,k)\)表示有\(n\)个自由放置的数，\(k\)个限制放置的数。
  2. \(dp(n,0)=n!\)，因为没有限制，所以方案数为\(n!\)
  3. \(dp(n,1)=n \cdot dp(n,0)\)，限制的数有\(n\)个位置可以放置，剩余\(n\)个数全排列放置。
  4. \(dp(n,k)=n\cdot dp(n,k-1)+(k-1)\cdot dp(n+1,k-2)\)，考虑其中一个限制的位置：选择自由元放置，则对应限制的数称为自由元。选择限制数放置，不能放置对应的数，所有\(k-1\)个，对应限制的数称为自由元。
• 容斥\(O(n^2)\)做法：
  1. \(dp(i)\)表示有\(i\)个\(fixed\ point\)的方案数，\(tot\)表示空闲位置，\(fp\)表示最大数量。
  2. \(dp(i)=\binom{fp}{i}(tot-i)!-\sum_{j=i+1}^{fp}{dp(j)\binom{j}{i}}\)
• \(dp，O(n)\)做法：
  1. \(dp(i)\)表示放置\(i\)个限制数的方案数。
  2. \(dp(0)=free!\)，\(free\)表示自由元的数量。
  3. \(dp(1)=dp(0)*free\)，当前自由元不能放置在本身位置，所以需要和一个自由元对换位置。
  4. \(dp(i)=free\cdot dp(i-1)+(i-1)\cdot(dp(i-2)+dp(i-1))\)，\((i-1)dp(i-2)\)表示当前限制数和之前其中一个限制数两个互相占据彼此的位置，则变成放置\(i-2\)的子问题，否则如果没有对换位置，则变成\(i-1\)的子问题。

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F. Iahub and Xors

• 二维前缀异或和。
• 修改单点\((x,y)\)，会对\(，(x+2k，y+2k)\)所有前缀产生影响。
• 根据\((x,y)\)的奇偶性，建4棵二维树状数组，容斥计算异或和以及更新前缀和。

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G. Candies Game

• 结论：任意三个数\(A,B,C\)，都能通过若干次操作，使得其中一个数变成0。
• 证明，以下考虑三个数都不相等的情况：
  1. 假设\(0<A<B<C\)，则\(B=A\cdot q + r\)，其中\(r<A\)。那么我们的目的就是把\(B\)转成\(r\)，得到更小的三元组。
  2. \(q\)用二进制表示，则\(B=(2^{e_n}+2^{e_{n-1}}+…+2^{e_0})A+r\)。
  3. 从最低位考虑，若对应位置为\(1\)，则\(q\)的二进制1的个数减少1，否则从\(C\)取出\(A\)放入\(A\)中。即\(A\)的值依次变成\(2^0A，2^1A，2^2A，…\)，那么就能对应地把\(q\)的1全部去除，即$B'=r