洛谷【P5004 专心OI - 跳房子】 题解

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题目链接

https://www.luogu.org/problem/P5004

洛谷 P5004 专心OI - 跳房子

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Imakf有一天参加了PINO 2017 PJ组，他突然看见最后一道题

他十分蒟蒻，写不出来

而如今他还是一个蒟蒻，他又看见一道题

他还是写不出来，于是便来请教您

题目描述

您有NN个格子，排成一行，从左往右编号为1,2,...,N1,2,...,N。您站在11号格子的左边，开始从左往右跳，跳到NN号格子右侧为止。由于您是一位成功的OIerOIer，您自然长得很胖，但您的力量也非常大！这使得您跳一次，当前格子到目标格子中间必须至少空出来MM格，但您可以跳无数格远！

您认为这么跳太没意思了，于是便想计算出有多少种方案可以跳完全程。由于方案可能过多，您会输出方案数量模(10^9+7)(109+7)的值

方案指经过格子编号的顺序不同，具体可见说明

题目简化一下……把NN个无色格子排成一行，可以把某些格子染成黑色，但两个黑色格子之间必须至少有MM个无色格子，求方案数

输入格式

第一行 N,MN,M

输出格式

跳完全程的方案模(10^9+7)(109+7)

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一道高中的排列组合问题

原理：

考虑黑色格子最多的情况：最左侧是黑色，然后每隔M个格子都是黑色，这种情况下的黑色格子的总数为：(N-1)/(M+1)+1 这种排列情况最右侧的无色格子为(N-1)%(M+1)，由于黑色格子间隔最少是M，并且此种情况所有黑色格子间隔都是M,所以黑色格子中间的格子是不能动的。现在把最右侧的无色格子看成是活动的，那么这些格子放置到任何位置都能满足要求，又因为(N-1)/(M+1)+1个黑色格子将N分割为了(N-1)/(M+1)+2个区域，所以黑色格子最多时的方案问题就转化为了高中的排列组合问题：(N-1)%(M+1)个小球放入(N-1)/(M+1)+2个盒子，小球相同，盒子不同，盒子里的小球可以为0。所以这种情况的方案数为C[((N-1)%(M+1)+(N-1)/(M+1)+1),(N-1)/(M+1)+1）。根据这种原理就可以求得所有的方案数了。代码如下：

#include<stdio.h>

long long factorial(int m, int n)
{
    int i,j;
    long long  ans = 1;
    if(m < n-m) m = n-m;
    for(i = m+1; i <= n; i++) ans *= i;
    for(j = 1; j <= n - m; j++) ans /= j;
    return ans;
}
int main()
{
int N,M,k,a,b,c=0;
long long d=0;
scanf("%d%d",&N,&M);
k=(N-1)/(M+1)+1;
a=(N-1)%(M+1);
for(b=k;b>1;b--)
{
  d += factorial(b,a+c*(M+1)+b);
  c++;
}
printf("%lld",(d+N+1)%1000000007);
return 0;
}

　　

但是这个代码只能得10分，当N大的时候不行了，可以用快速阶乘解决