Mobius 反演与杜教筛

积性函数

积性函数 指对于所有互质的整数 aaa 和 bbb 有性质 f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b) 的数论函数。

特别地，若所有的整数 aaa 和 bbb 有性质 f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)，则称这个函数 f(x)f(x)f(x) 是 完全积性函数。

常见积性函数及其性质

1. Mobius 函数。∀n∈N∗\forall n\in\N^*∀n∈N∗ 有 μ(n)={1,n=1(−1)k,n=∏i=1kpk,0,otherwise.\mu(n)=\begin{cases}1,n=1\\
   (-1)^k,n=\prod_{i=1}^{k}{p_k},\\
   0,\text{otherwise.}\end{cases}μ(n)=⎩⎪⎨⎪⎧​1,n=1(−1)k,n=∏i=1k​pk​,0,otherwise.​
   
   其中 ppp 是互不相同的素数；

2. Euler 函数。φ(n)\varphi(n)φ(n) 表示不大于 nnn 的、与 nnn 互素的数的个数；

3. 约数个数函数。d(n)d(n)d(n) 表示 nnn 的约数个数；

4. 约数和函数。σ(n)\sigma(n)σ(n) 表示 nnn 的约数之和。

完全积性函数

1. 元函数。ϵ(x)=[x=1]\epsilon(x)=[x=1]ϵ(x)=[x=1]。

2. 恒等函数。I(x)=1I(x)=1I(x)=1。所谓恒等就是函数值恒等于 111。

3. 单位函数。id(n)=nid(n)=nid(n)=n。

Dirichlet （狄利克雷）卷积

两个数论函数 f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x) 的 Dirichlet 卷积h(x)=(f∗g)(x)=∑d∣xf(d)g(xd)h(x)=(f*g)(x)=\sum_{d|x}f(d)g(\frac xd)h(x)=(f∗g)(x)=d∣x∑​f(d)g(dx​)

显然，Dirichlet 卷积满足交换律、结合律、分配律。而且有f∗ϵ=ff*\epsilon=ff∗ϵ=f

Mobius 函数的性质

∀n∈N∗\forall n\in\N^*∀n∈N∗ 有 ∑d∣nμ(d)=ϵ(n)\sum_{d|n}\mu(d)=\epsilon(n)d∣n∑​μ(d)=ϵ(n)即μ∗I=ϵ\mu*I=\epsilonμ∗I=ϵ

Euler 函数的性质

∀n∈N∗\forall n\in\N^*∀n∈N∗ 有 ∑d∣nφ(d)=n\sum_{d|n}\varphi(d)=nd∣n∑​φ(d)=n即φ∗I=id\varphi*I=idφ∗I=id

Mobius 反演

Mobius 反演（莫比乌斯反演） 是数论数学中很重要的内容，可以用于解决很多组合数学的问题。

结论 设 f,gf,gf,g 为数论函数，且 f=∑d∣ng(d)f=\sum_{d|n}g(d)f=d∣n∑​g(d)则g=∑d∣nμ(d)f(nd)g=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac nd)g=d∣n∑​μ(d)f(dn​)

证明： 易知f=g∗If=g*If=g∗I

左右两边同时卷上 μ\muμ，得f∗μ=g∗I∗μf*\mu=g*I*\muf∗μ=g∗I∗μ

因为 μ∗I=ϵ\mu*I=\epsilonμ∗I=ϵ，则有f∗μ=gf*\mu=gf∗μ=g即g=∑d∣nμ(d)f(nd)g=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac nd)g=d∣n∑​μ(d)f(dn​)原命题得证。



事实上，我们做题的时候主要用以下形式。

若F(x)=∑x∣df(d)F(x)=\sum_{x|d}f(d)F(x)=x∣d∑​f(d)则有f(x)=∑x∣dμ(dx)F(d)f(x)=\sum_{x|d}\mu(\frac dx)F(d)f(x)=x∣d∑​μ(xd​)F(d)证明与上类似，此略。

杜教筛

杜教筛 是在低于线性的时间复杂度，求一个积性函数前缀和的算法。

（找不到定义，只好自己编一个）

和式的推导

今需计算积性函数 f(x)f(x)f(x) 的前缀和S(n)=∑i=1nf(i)S(n)=\sum_{i=1}^{n}{f(i)}S(n)=i=1∑n​f(i)

为了解决这个问题，构造积性函数 g(x),h(x)g(x),h(x)g(x),h(x) 使f∗g=hf*g=hf∗g=h

则∑i=1nh(x)=∑i=1nf(x)∗g(x)=∑i=1n∑d∣nf(d)g(nd)=∑d=1ng(d)⋅∑i=1⌊nd⌋f(i)=∑d=1ng(d)⋅S(⌊nd⌋)=g(1)⋅S(n)+∑d=2ng(d)⋅S(⌊nd⌋)\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}h(x)&=\sum_{i=1}^{n}f(x)*g(x)\\
&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|n}f(d)g(\frac nd)\\
&=\sum_{d=1}^{n}g(d)·\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}{f(i)}\\
&=\sum_{d=1}^n{g(d)}·S(\lfloor\frac nd\rfloor)\\
&=g(1)·S(n)+\sum_{d=2}^{n}g(d)·S(\lfloor\frac nd\rfloor)\end{aligned}i=1∑n​h(x)​=i=1∑n​f(x)∗g(x)=i=1∑n​d∣n∑​f(d)g(dn​)=d=1∑n​g(d)⋅i=1∑⌊dn​⌋​f(i)=d=1∑n​g(d)⋅S(⌊dn​⌋)=g(1)⋅S(n)+d=2∑n​g(d)⋅S(⌊dn​⌋)​

所以g(1)⋅S(n)=∑i=1nh(i)−∑d=2ng(d)⋅S(⌊nd⌋)g(1)·S(n)=\sum_{i=1}^{n}{h(i)}-\sum_{d=2}^{n}{g(d)·S(\lfloor\frac nd\rfloor)}g(1)⋅S(n)=i=1∑n​h(i)−d=2∑n​g(d)⋅S(⌊dn​⌋)

那么问题来了，g,hg,hg,h 到底取什么呢？

例 1

求S(n)=∑i=1nμ(i)S(n)=\sum_{i=1}^{n}{\mu(i)}S(n)=i=1∑n​μ(i)



由上面的套路，得g(1)⋅S(n)=∑i=1nh(x)−∑d=2ng(d)⋅S(⌊nd⌋)g(1)·S(n)=\sum_{i=1}^{n}{h(x)}-\sum_{d=2}^{n}{g(d)·S(\lfloor\frac nd\rfloor)}g(1)⋅S(n)=i=1∑n​h(x)−d=2∑n​g(d)⋅S(⌊dn​⌋)

因为 μ∗I=ϵ\mu*I=\epsilonμ∗I=ϵ，所以不妨令 g=I,h=ϵg=I,h=\epsilong=I,h=ϵ 得

I(1)⋅S(n)=∑i=1nϵ(x)−∑d=2nI(d)⋅S(⌊nd⌋)S(n)=1−∑d=2nS(⌊nd⌋)\begin{aligned}I(1)·S(n)&=\sum_{i=1}^{n}{\epsilon(x)}-\sum_{d=2}^{n}{I(d)·S(\lfloor\frac nd\rfloor)}\\
S(n)&=1-\sum_{d=2}^{n}{S(\lfloor\frac nd\rfloor)}\end{aligned}I(1)⋅S(n)S(n)​=i=1∑n​ϵ(x)−d=2∑n​I(d)⋅S(⌊dn​⌋)=1−d=2∑n​S(⌊dn​⌋)​

例 2

求S(n)=∑i=1nφ(i)S(n)=\sum_{i=1}^{n}{\varphi(i)}S(n)=i=1∑n​φ(i)

容易想到φ∗I=id\varphi*I=idφ∗I=id

由上面的套路得S(n)=∑i=1ni−∑d=2nS(⌊nd⌋)S(n)=\sum_{i=1}^{n}{i}-\sum_{d=2}^{n}{S(\lfloor \frac nd\rfloor)}S(n)=i=1∑n​i−d=2∑n​S(⌊dn​⌋)

luogu 杜教筛模板

luogu P4213

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>

#define reg register
typedef long long ll;
const int MAXN=5000010;
const int MOD=15e5+7;

int T,n;
bool vis[MAXN];
int p[MAXN];
int phi[MAXN];
int mu[MAXN];
ll S_phi[MAXN];
int S_mu[MAXN];
int Hmu[MOD+10];
ll Hphi[MOD+10];
int len=0;

void init(){
	memset(vis,1,sizeof(vis));
	vis[0]=vis[1]=0;phi[1]=mu[1]=1;
	for(reg ll i=2;i<=MAXN;++i){
		if(vis[i]){
			p[++len]=i;
			phi[i]=i-1;
			mu[i]=-1;
		}
		for(reg int j=1;j<=len&&(i*p[j]<=MAXN);++j){
			vis[i*p[j]]=0;
			if(i%p[j]!=0){
				phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
				mu[i*p[j]]=-mu[i];
			}
			else{
				phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
				mu[i*p[j]]=0;
				break;
			}
		}
	}
	S_phi[0]=S_mu[0]=0;
	for(reg int i=1;i<=MAXN;++i){
		S_phi[i]=S_phi[i-1]+phi[i];
		S_mu[i]=S_mu[i-1]+mu[i];
	}
}
ll Sphi(int x){
	if(x<MAXN) return S_phi[x];
	if(Hphi[x%MOD]) return Hphi[x%MOD];
	ll sum=0;
	for(int l=2,r;l<=x;l=r+1){
		r=x/(x/l);
		sum+=Sphi(x/l)*(r-l+1);
	}
	ll s=(1ll+x)*x/2;
	return Hphi[x%MOD]=s-sum;
}
int Smu(int x){
	if(x<MAXN) return S_mu[x];
	if(Hmu[x%MOD]) return Hmu[x%MOD];
	ll sum=0;
	for(int l=2,r;l<=x;l=r+1){
		r=x/(x/l);
		sum+=Smu(x/l)*(r-l+1);
	}
	return Hmu[x%MOD]=1-sum;
}
int main(){
	init();
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		printf("%lld %d\n",Sphi(n),Smu(n));
	}
}