有向图强连通分量 Tarjan算法

[有向图强连通分量]

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

大体来说有3中算法Kosaraju,Trajan,Gabow这三种！后续文章中将相继介绍，首先介绍Tarjan算法

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。

算法伪代码如下

tarjan(u) 
{

DFN[u]=Low[u]=++Index     // 为节点u设定次序编号和Low初值

Stack.push(u)                     // 将节点u压入栈中

for each (u, v) in E               // 枚举每一条边

if (v is not visted)          // 如果节点v未被访问过

tarjan(v)              // 继续向下找

Low[u] = min(Low[u], Low[v])

else if (v in S)            // 如果节点v还在栈内

Low[u] = min(Low[u], DFN[v])

if (DFN[u] == Low[u])        // 如果节点u是强连通分量的根

repeat

v = S.pop                  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点

print v

until (u== v)

}

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。

返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。

返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。

至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。

求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。

#include "cstdlib" 
#include "cctype" 
#include "cstring" 
#include "cstdio" 
#include "cmath" 
#include "algorithm" 
#include "vector" 
#include "string" 
#include "iostream" 
#include "sstream" 
#include "set" 
#include "queue" 
#include "stack" 
#include "fstream" 
#include "strstream" 
using namespace std;

#define  M 2000              //题目中可能的最大点数       
int STACK[M],top=0;          //Tarjan 算法中的栈 
bool InStack[M];             //检查是否在栈中 
int DFN[M];                  //深度优先搜索访问次序 
int Low[M];                  //能追溯到的最早的次序 
int ComponetNumber=0;        //有向图强连通分量个数 
int Index=0;                 //索引号 
vector <int> Edge[M];        //邻接表表示 
vector <int> Component[M];   //获得强连通分量结果

void Tarjan(int i) 
{ 
    int j; 
    DFN[i]=Low[i]=Index++; 
    InStack[i]=true; 
    STACK[++top]=i; 
    for (int e=0;e<Edge[i].size();e++) 
    { 
        j=Edge[i][e]; 
        if (DFN[j]==-1) 
        { 
            Tarjan(j); 
            Low[i]=min(Low[i],Low[j]); 
        } 
        else if (InStack[j]) 
            Low[i]=min(Low[i],DFN[j]); 
    } 
    if (DFN[i]==Low[i]) 
    { 
        cout<<"TT    "<<i<<"   "<<Low[i]<<endl; 
        ComponetNumber++; 
        do 
        { 
            j=STACK[top--]; 
            InStack[j]=false; 
            Component[ComponetNumber].push_back(j); 
        } 
        while (j!=i); 
    } 
}

void solve(int N)     //此图中点的个数，注意是0-indexed！ 
{ 
    memset(STACK,-1,sizeof(STACK)); 
    memset(InStack,0,sizeof(InStack)); 
    memset(DFN,-1,sizeof(DFN)); 
    memset(Low,-1,sizeof(Low)); 
    for(int i=0;i<N;i++) 
        if(DFN[i]==-1) 
            Tarjan(i);    
} 
/* 
此算法正常工作的基础是图是0-indexed的。 
*/ 
int main() 
{ 
    Edge[0].push_back(1);Edge[0].push_back(2); 
    Edge[1].push_back(3); 
    Edge[2].push_back(3);Edge[2].push_back(4); 
    Edge[3].push_back(0);Edge[3].push_back(5); 
    Edge[4].push_back(5); 
    int  N=6; 
    solve(N); 
    cout<<"ComponetNumber is "<<ComponetNumber<<endl; 
    for(int i=0;i<N;i++) 
        cout<<Low[i]<<" "; 
    cout<<endl; 
    for(int i=0;i<N;i++) 
    { 
        for(int j=0;j<Component[i].size();j++) 
            cout<<Component[i][j]; 
        cout<<endl; 
    } 
    return 0; 
}