【LeetCode】Roman to Integer & Integer to Roman

Roman to Integer

Given a roman numeral, convert it to an integer.

Input is guaranteed to be within the range from 1 to 3999.

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首先学习一下罗马数字的规则：

羅馬數字共有7個，即I（1）、V（5）、X（10）、L（50）、C（100）、D（500）和M（1000）。按照下述的規則可以表示任意正整數。需要注意的是罗马数字中没有“0”，與進位制無關。一般認為羅馬數字只用來記數，而不作演算。

• 重複數次：一個羅馬數字重複幾次，就表示這個數的幾倍。

• 右加左減：
  • 在較大的羅馬數字的右邊記上較小的羅馬數字，表示大數字加小數字。
  • 在較大的羅馬數字的左邊記上較小的羅馬數字，表示大數字减小數字。
  • 左减的数字有限制，仅限于I、X、C。比如45不可以写成VL，只能是XLV
  • 但是，左減時不可跨越一個位數。比如，99不可以用IC (100 - 1) 表示，而是用XCIX（ (100 - 10) + (10 - 1) ）表示。（等同於阿拉伯數字每位數字分別表示。）
  • 左減數字必須為一位，比如8寫成VIII，而非IIX。
  • 右加數字不可連續超過三位，比如14寫成XIV，而非XIIII。（見下方“數碼限制”一項。）

• 加線乘千：
  • 在羅馬數字的上方加上一條橫線或者加上下標的Ⅿ，表示將這個數乘以1000，即是原數的1000倍。
  • 同理，如果上方有兩條橫線，即是原數的1000000（1000^2）倍。

• 數碼限制：
  • 同一數碼最多只能出現三次，如40不可表示為XXXX，而要表示為XL。
  • 例外：由於IV是古羅馬神話主神朱庇特（即IVPITER，古羅馬字母裡沒有J和U）的首字，因此有時用IIII代替Ⅳ。

这其中有一个很有意思的问题：

对于这道题，真正有用的规则只有前面所述黑体的部分，那我们是“从前往后”扫描计算还是“从后往前”扫描呢？

* 如果是从前往后，那么假定已经扫描过的位置都是已经处理了的（即这一位的值已经被计算过）：

1. 当 s[i] > s[i-1]，应该是 s[i] - s[i-1]，但是此时 s[i-1] 已经被处理并且一定是被加进了 ans （对 s[i-2] 分情况讨论便知），所以此时需要 ans += s[i] - 2*s[i-1]；

2. 当 s[i] <= s[i-1]，应该是 加上 s[i-1]，这没什么问题。

* 如果是从后往前，那么假定已经扫描过的位置都是已经处理了的（即这一位的值已经被计算过）：

1. 当 s[i] >= s[i+1]，把 s[i] 加进去即可（ s[i+1] 是加进 ans 还是 减进 ans 的都没有影响），样例有 XCIX（99）；

2. 当 s[i] < s[i+1]， 把 s[i] 减进 ans 即可。

所以，相比之下“从后往前”的策略是更规范和统一，逻辑上也更清晰，ans 在处理过程中的波动理论上也更小，而且符合我们的假定：即只处理还未扫描到的位，已经扫描到的不再做任何 “补救” 形态的处理。

下面，把两种策略的代码都贴出来：

“从前往后”的策略：

 class Solution:
     # @param {string} s
     # @return {integer}
     def romanToInt(self, s):
         roman = {
             "I":    1,
             "V":    5,
             "X":    10,
             "L":    50,
             "C":    100,
             "D":    500,
             "M":    1000
             }
         ans = roman[s[0]]
         for i in range(1, len(s)):
             if roman[s[i]] > roman[s[i-1]]:
                 ans += roman[s[i]] - 2*roman[s[i-1]]
             else:
                 ans += roman[s[i]]
         return ans

“从后往前”的策略：

 class Solution:
     # @param {string} s
     # @return {integer}
     def romanToInt(self, s):
         roman = {
             "I":    1,
             "V":    5,
             "X":    10,
             "L":    50,
             "C":    100,
             "D":    500,
             "M":    1000
             }
         n = len(s)
         ans = roman[s[n-1]]
         i = n-2
         while i >= 0:
             if roman[s[i]] >= roman[s[i+1]]:
                 ans += roman[s[i]]
             else:
                 ans -= roman[s[i]]
             i -= 1
         return ans

Reference：

http://blog.csdn.net/jellyyin/article/details/13165731

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Integer to Roman

Given an integer, convert it to a roman numeral.

Input is guaranteed to be within the range from 1 to 3999.

Solution:

反过来的关键在于找出能表示所有的数的“基本元”的集合，然后从数值大到小排列，依次从num里面减去，同时构造出罗马数字串，直至num为0。

那么哪些是我们要找的“基本元”呢？

让我们从小数字来看，首先 1 是已经存在的基本元（I），2和3则可以用 I 的重复来表示，但是 4 却已经不能用更 4 个 I 来表示了（受 “右加數字不可連續超過三位” 规则限制），而只能用 5-1 也就是 IV 来表示了。

至此，6 - 8 也可以用 V 和 I 的组合表示了，但是对于 9，首先不能是 VIIII，5+4（VIV）也不行（ I 位的符号受“右加左减”限制存在矛盾），而只能是 10 - 1 （IX）。

至此，个位数的情况已经穷尽，而更高数量级的数字与此同理可以找出“基本元”，较小数量级的数又可以由已经找出的“基本元”的合法组合来表示，这就好比我们熟知的人民币数值系统。

代码如下：

 class Solution:
     # @param {integer} num
     # @return {string}
     def intToRoman(self, num):
         values = [1000, 900, 500, 400, 100, 90, 50, 40, 10, 9, 5, 4, 1]
         numerals = ["M", "CM", "D", "CD", "C", "XC", "L", "XL", "X", "IX", "V", "IV", "I"]
         ans, i = "", 0
         while num:
             ans += (num//values[i]) * numerals[i]
             num %= values[i]
             i += 1
         return ans