Atcoder ABC390E Vitamin Balance 题解 [ 绿 ] [ 背包 ] [ 二分 ]

Vitamin Balance：比较板的背包。

思路

一个 dp 数组里同时存三种食物的最大维他命显然不可行，因为一种食物维他命最多不代表其他维他命也同样多，而最终的价值取决于维他命最少的那个，所以这种思路不可行。

因此我们考虑对每一种食物计算给它 \(x\) 的体积下最大的维他命数量，这个显然可以背包去做。然后因为要求三个里的最小值最大，所以这个最小值显然有单调性，考虑二分最小值，在二分 check 的内部再套一个二分，找出第一个维他命大于等于这个维他命最小值的体积，然后全部加在一起，判断是否小于等于总体积即可完成 check。

时间复杂度 \(O(nx+\log V \log x)\)。其中 \(V\) 为答案的值域。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define lc (p<<1)
#define rc ((p<<1)|1)
#define eb(x) emplace_back(x)
#define pb(x) push_back(x)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
using pi=pair<int,int>;
int n,m;
ll dp[5][5005];
vector<pi>a[5];
void do_dp(int id)
{
    for(auto x:a[id])
    {
        int w=x.fi,v=x.se;
        for(int j=m;j-v>=0;j--)
        {
            dp[id][j]=max(dp[id][j],dp[id][j-v]+w);
        }
    }
}
bool check(ll mn)
{
    int ans1=(lower_bound(dp[1]+1,dp[1]+m+1,mn)-dp[1]);
    int ans2=(lower_bound(dp[2]+1,dp[2]+m+1,mn)-dp[2]);
    int ans3=(lower_bound(dp[3]+1,dp[3]+m+1,mn)-dp[3]);
    if(ans1+ans2+ans3<=m)return 1;
    return 0;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int v,ax,c;
        cin>>v>>ax>>c;
        a[v].push_back({ax,c});
    }
    do_dp(1);
    do_dp(2);
    do_dp(3);
    ll l=0,r=2e9,mid;
    while(l<r)
    {
        mid=(l+r+1)>>1;
        if(check(mid))l=mid;
        else r=mid-1;
    }
    cout<<l;
    return 0;
}