一、前言

在过去的一周里结束了CCSP的比赛,其中有一道题卡了我9个小时,各种调错都没法完整的调处来这题,于是痛下决心开始补题,这个是计划的一部分。事实上,基于错误的理解我写了若干发拓扑排序+字典序的算法,但是集体统一GG,最后发现,实际上要求设计的并不是严格意义上的最小字典序,而是“最小的必然放在最大的之前”这种看上去很类似但是时至完全不一样的说法。而这也是为什么,正想建树GG但是反向建树,用大顶堆来找最大的思路是正确的。这实际上等价于,“寻找最大字典序并且反向输出”这个过程。

首先看一组样例

1

3 1

3 1
        对于改组样例,有约束——3必须在1前面,因为如果有最小字典序正想输出的算法就会得到2 3 1。但是这个数据明显的违反了题目对于顺序的规约——“如果存在一个1,能够在2前面,那么就必须把1放到2前面,在这之后,如果还有2能够放在3前面,就必须把2放到3前面”。于是我们直觉上认为,这种说法其实等价于,首先把所有可能的最大值全放到最后,用以保证不会有任何一个合法的小数放到大数的后面。正确的做法是,2 1 3(逆向输出是3,1,2)。这种方法从玄学上保证了输出“依照题目意思有序”。

二、思路和相关优化

        思路简单的讲就是拓扑排序过程中,通过检测是否有新的元素已经可以被当做随时可以加入队列的元素,如果有,就加入优先队列,如果没有就继续。

        一般来说,使用字典序输出拓扑排序是一件很简单的事情。对比了网上其他人写的代码,我们可以直观的认为至少有如下几种优化方式:

  1. 使用邻接表来存储具体的边信息而不是邻接矩阵。(可以证明,使用vector作为邻接表插入N条边的时间期望应当是O(N))
  2. 使用优先队列、multiset来从集合中选取最大最小的元素
  3. 使用CNT[]数组来记录该点被指向的次数,之后在topsort当中通过对cnt数组相应元素的判断来确定这个值是不是等于零

三、通用AC代码

POJ3687

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std; const long long MAXN=; vector<int>G[MAXN];
int cnt[MAXN];
long long n,m; int vis[MAXN];
bool dfs(int now)
{
vis[now]=;
int len=G[now].size();
for(int i=;i<len;++i)
{
int tar=G[now][i];
if(vis[tar]==)return true;
if(vis[tar]==&&dfs(tar))return true; }vis[now]=;
return false;
}
bool check_circle()
{
memset(vis,,sizeof(int)*(n+));
for(int i=;i<=n;++i)
{
if(vis[i]==&&dfs(i))return true;
}return false;
}
int ans[MAXN];
void topSort()
{
priority_queue<int>q;
int summ=n;
for(int i=;i<=n;++i)
{
if(cnt[i]==)q.push(i);
}
while(!q.empty())
{
int now=q.top();q.pop();
int len=G[now].size();
ans[now]=summ--;
for(int i=;i<len;++i)
{
int tar=G[now][i];
cnt[tar]--;
if(cnt[tar]==)q.push(tar);
}
}
} void init()
{
memset(cnt,,sizeof(int)*n+);
cin>>n>>m;
for(int i=;i<=n;++i)
{
G[i].clear();
}
for(int i=;i<m;++i)
{
int a,b;
cin>>a>>b;
G[b].push_back(a);
cnt[a]++;
}
if(check_circle())
{
cout<<"-1\n";
return ;
}
topSort();
for(int i=;i<=n;++i)
{
cout<<ans[i]<<" ";
}cout<<endl;
} int main()
{
cin.sync_with_stdio(false);
int ca;
cin>>ca;
while(ca--)init(); return ;
}

HDU4857

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std; const long long MAXN=; vector<int>G[MAXN];
int cnt[MAXN];
long long n,m; int vis[MAXN];
bool dfs(int now)
{
vis[now]=;
int len=G[now].size();
for(int i=;i<len;++i)
{
int tar=G[now][i];
if(vis[tar]==)return true;
if(vis[tar]==&&dfs(tar))return true; }vis[now]=;
return false;
}
bool check_circle()
{
memset(vis,,sizeof(int)*(n+));
for(int i=;i<=n;++i)
{
if(vis[i]==&&dfs(i))return true;
}return false;
}
int ans[MAXN];
void topSort()
{
priority_queue<int>q;
int summ=n;
for(int i=;i<=n;++i)
{
if(cnt[i]==)q.push(i);
}
while(!q.empty())
{
int now=q.top();q.pop();
int len=G[now].size();
ans[summ--]=now;
for(int i=;i<len;++i)
{
int tar=G[now][i];
cnt[tar]--;
if(cnt[tar]==)q.push(tar);
}
}
} void init()
{
memset(cnt,,sizeof(int)*n+);
cin>>n>>m;
for(int i=;i<=n;++i)
{
G[i].clear();
}
for(int i=;i<m;++i)
{
int a,b;
cin>>a>>b;
G[b].push_back(a);
cnt[a]++;
}
if(check_circle())
{
cout<<"-1\n";
return ;
}
topSort();
for(int i=;i<n;++i)
{
cout<<ans[i]<<" ";
}cout<<ans[n]<<endl;
} int main()
{
cin.sync_with_stdio(false);
int ca;
cin>>ca;
while(ca--)init(); return ;
}

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