[ZJOI2008]瞭望塔

题目描述

致力于建设全国示范和谐小村庄的H村村长dadzhi，决定在村中建立一个瞭望塔，以此加强村中的治安。

我们将H村抽象为一维的轮廓。如下图所示

我们可以用一条山的上方轮廓折线(x1, y1), (x2, y2), …. (xn, yn)来描述H村的形状，这里x1 < x2 < …< xn。瞭望塔可以建造在[x1, xn]间的任意位置, 但必须满足从瞭望塔的顶端可以看到H村的任意位置。可见在不同的位置建造瞭望塔，所需要建造的高度是不同的。为了节省开支，dadzhi村长希望建造的塔高度尽可能小。

请你写一个程序，帮助dadzhi村长计算塔的最小高度。

输入输出格式

输入格式：

输入文件tower.in第一行包含一个整数n，表示轮廓折线的节点数目。接下来第一行n个整数, 为x1 ~ xn. 第三行n个整数，为y1 ~ yn。

输出格式：

输出文件tower.out仅包含一个实数，为塔的最小高度，精确到小数点后三位。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

6
1 2 4 5 6 7
1 2 2 4 2 1

输出样例#1： 复制

1.000

说明

对于60%的数据， N ≤ 60；

对于100%的数据， N ≤ 300，输入坐标绝对值不超过106，注意考虑实数误差带来的问题

这题分两步。第一步就是求出满足条件的半平面，这半部分就是"水平可见直线"那题。

第二部就是计算答案。可以证明瞭望塔的横坐标一定在半平面或地面的拐点处，因为中间部分一定没有其中一端优秀。

所以对半平面和地面的拐点分别拎出来讨论一下就好了。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 struct Line
 {
   double k,b;
 }line[],sta[];
 int n,top;
 double x[],y[],inf=1e8,eps=1e-,ans=2e12;
 int dcmp(double X)
 {
   if (X>eps) return ;
   if (X<-eps) return -;
   return ;
 }
 double getx(Line a,Line b)
 {
   return ((b.b-a.b)/(a.k-b.k));
 }
 double gety(double X)
 {int i;
   for (i=;i<=n;i++)
     {
       if (x[i+]>=X) break;
     }
   if (i==n+) return -inf;
   double k=(y[i+]-y[i])/(x[i+]-x[i]),b=y[i]-k*x[i];
   return X*k+b;
 }
 bool cmp(Line a,Line b)
 {
   if (dcmp(a.k-b.k)==)
     return a.b<b.b;
   return a.k<b.k;
 }
 int main()
 {
   int i,j;
   double maxx;
   cin>>n;
   for (i=;i<=n;i++)
     scanf("%lf",&x[i]);
   for (i=;i<=n;i++)
     scanf("%lf",&y[i]);
   for (i=;i<=n-;i++)
     {
       line[i].k=(y[i+]-y[i])/(x[i+]-x[i]);
       line[i].b=y[i]-line[i].k*x[i];
     }
   n--;
   sort(line+,line+n+,cmp);
   line[n+].k=inf;
   sta[]=line[];sta[]=line[];
   top=;
   for (i=;i<=n;i++)
     {
       if (dcmp(line[i].k-line[i+].k)==)
     continue;
       while (top>&&getx(line[i],sta[top-])<=getx(sta[top],sta[top-])) top--;
       top++;
       sta[top]=line[i];
     }
   for (i=;i<top;i++)
     {
       double X=getx(sta[i],sta[i+]);
       double Y=sta[i].k*X+sta[i].b;
       if (dcmp(Y-gety(X))>=)
       ans=min(ans,Y-gety(X));
     }
   for (i=;i<=n+;i++)
     {
       maxx=;
       for (j=;j<=top;j++)
     {
       maxx=max(maxx,x[i]*sta[j].k+sta[j].b);
     }
       if (dcmp(maxx-y[i])>=)
       ans=min(ans,maxx-y[i]);
     }
   printf("%.3lf\n",ans);
 }

本题可以使用三分法

将点按横坐标排好序后

对于任意相意两个点连成的线段，瞭望塔的高度 是单峰函数，而且是下凸函数

感性理解单峰就是

瞭望塔建的靠左，为了能看到右边的，要高一点

瞭望塔建的靠右，为了能看到左边的，要高一点

所以 枚举所有线段，三分线段上建造瞭望塔的位置，所有线段上的瞭望塔高度取最小

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 struct Node
 {
   double k,b;
   int pd;
 }L[];
 int n;
 double px[],py[],eps=1e-,ans;
 int dcmp(double x)
 {
   if (x>eps) return ;
   if (x<-eps) return -;
   return ;
 }
 double cal(double X,double Y)
 {int i;
   double tmp=;
   for (i=;i<n;i++)
     {
       if (L[i].pd==) continue;
       tmp=max(tmp,L[i].k*X+L[i].b-Y);
     }
   return tmp;
 }
 int main()
 {int i;
   cin>>n;
   for (i=;i<=n;i++)
     scanf("%lf",&px[i]);
   for (i=;i<=n;i++)
     scanf("%lf",&py[i]);
   for (i=;i<n;i++)
     {
       if (dcmp(px[i]-px[i+])==) continue;
       L[i].k=(py[i]-py[i+])/(px[i]-px[i+]);
       L[i].b=py[i]-L[i].k*px[i];
       L[i].pd=;
     }
   ans=2e15;
   for (i=;i<n;i++)
     {
       if (L[i].pd==) continue;
       int T=;
       double l=px[i],r=px[i+];
       double mid1,mid2;
       while (T--)
     {
       mid1=(r-l)/+l,mid2=r-(r-l)/;
       if (dcmp(cal(mid1,mid1*L[i].k+L[i].b)-cal(mid2,mid2*L[i].k+L[i].b))>=) l=mid1;
       else r=mid2;
     }
       ans=min(ans,cal(mid1,mid1*L[i].k+L[i].b));
     }
   printf("%.3lf\n",ans);
 }