"《算法导论》之‘图’"：不带权二分图最大匹配（匈牙利算法）

　　博文“二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法”对二分图相关的几个概念讲的特别形象，特别容易理解。本文介绍部分主要摘自此博文。

　　还有其他可参考博文：

　　趣写算法系列之--匈牙利算法

　　用于二分图匹配的匈牙利算法

1.前言

　　二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 U 和V ，使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。

　　匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

　　      

　　我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。

　　最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

　　完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。

　　举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。

　　

　　基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。

　　

　　交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

　　增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：

　　

　　增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

　　我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前，先讲一下匈牙利树。

　　匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：

　　       

　　这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。

2.匈牙利算法实现

　　匈牙利算法可基于DFS或BFS实现。本文实现的是基于DFS的。

　　具体代码头文件定义为：

 #ifndef HUNGARIAN_H
 #define HUNGARIAN_H

 #include "BFS_n_DFS.h" // 详细代码请转到Github.

 class Graph_Hun : public Graph_BD
 {
 public:
     Graph_Hun();
     virtual ~Graph_Hun();
     virtual bool DFS(int vexID);
     virtual bool BFS(int vexID);
     int hungarian();

     void setNumOfLeft(int num);
     void setNumOfRight(int num);

 private:
     int matching[MAXNUM];
     bool checked[MAXNUM];
     int numOfLeft;
     int numOfRight;
 };

 #endif

　　实现文件为：

 #include "Hungarian.h"
 #include <cassert>

 Graph_Hun::Graph_Hun()
 {
     memset(matching, -, sizeof(matching));
     memset(checked, false, sizeof(checked));
 }

 Graph_Hun::~Graph_Hun()
 {

 }

 bool Graph_Hun::DFS(int vexID)
 {
     assert(vexID >=  && vexID < MAXNUM);

     vector<int> adjVexes = adj(vexID);
     int sz = adjVexes.size();
     for (int i = ; i < sz; i++)
     {
         int adjVex = adjVexes[i];
         if (!checked[adjVex])
         {
             checked[adjVex] = true;
             if (matching[adjVex] == - || DFS(matching[adjVex]))
             {
                 matching[adjVex] = vexID;
                 matching[vexID] = adjVex;
                 return true;
             }
         }
     }
     return false;
 }

 bool Graph_Hun::BFS(int vexID)
 {
     return true;
 }

 int Graph_Hun::hungarian()
 {
     int maxMatching = ;
     for (int i = ; i < numOfLeft; i++)
     {
         if (matching[i] == -)
         {
             memset(checked, false, sizeof(checked));
             if (DFS(i))
                 maxMatching++;
         }
     }
     return maxMatching;
 }

 void Graph_Hun::setNumOfLeft(int num)
 {
     numOfLeft = num;
 }

 void Graph_Hun::setNumOfRight(int num)
 {
     numOfRight = num;
 }

Hungarian.cpp

　　下边将用一个例子来说明利用匈牙利算法求二分图最大匹配的过程。作为例子的二分图如下：

　　

　　图2-1 一个二分图（其中0~1表示二分图左边，6~12表示二分图右边）

　　详细的二分图最大匹配过程如下图所示：

　　

　　图2-2 详细的二分图最大匹配过程

　　在子图1中，0直接连接到6；在子图2中，1直接连接到7；在子图3中，2试图连接到6（因为是DFS搜索），但6已经连接到0，这时候就要找增广路径了，找到的路径如下图：

　　

　　图2-3 增广路径“2->6->0->7->1->10”

这时将已匹配和未匹配的路径反转就能够得到图2-2中的子图3了。在图2-2的子图4中，3、4分别直接连接到8、9，没有寻找增广路径的过程。而对5来说，并未能找到增广路径，因此5无法匹配。最终的匹配结果如下图：

　　

　　图2-4 二分图最终匹配结果

　　

　　详细代码请参考自Github.