【后缀数组之height数组】

模板奉上

int rank[maxn],height[maxn];
void calheight(int *r,int *sa,int n)
{
    int i,j,k=;
    for(i=;i<=n;i++) rank[sa[i]]=i;
    for(i=;i<n;height[rank[i++]]=k)
    　　for(k?k--:,j=sa[rank[i]-];r[i+k]==r[j+k];k++) //求h[i] = height[rank[i]];
　　　　　　;
    return;
}

概念：

（1）height 数组：定义height[i]=suffix(SA[i-1])和suffix(SA[i])的最长公共前缀，也就是排名相邻的两个后缀的最长公共前缀的长度 。

（2）h[i]=height[rank[i]]，也就是suffix(i)和排序后在它前一名的后缀的最长公共前缀的长度。

（3）函数lcp(u,v)=max{i|u=v}，也就是从头开始顺次比较u和v的对应字符，对应字符持续相等的最大位置，称为这两个字符串u,v的最长公共前缀的长度。

（4）LCP(i,j)：对正整数i,j 定义LCP(i,j)=lcp(Suffix(SA[i]),Suffix(SA[j])，其中i,j 均为1至n的整数。LCP(i,j)也就是后缀数组中第i个和第j个后缀的最长公共前缀的长度。

性质：

（1）LCP(i,j)=min{height[k]|i+1≤k≤j}，也就是说，计算LCP(i,j)等同于询问一维数组height[] 中下标在i+1 到j 范围内的所有元素的最小值。

（2）对于i>1 且Rank[i]>1，一定有h[i]≥h[i-1]-1。（这条性质要好好理解！）

　　证明：设suffix(k)是排在suffix(i-1)前一名的后缀，它们的最长公共前缀是h[i-1]。

那么suffix(k+1)将排在suffix(i)的前面（这里要求h[i-1]>1，如果h[i-1]≤1，原式显然成立）并且suffix(k+1)和suffix(i)的最长公共前缀是h[i-1]-1，

所以suffix(i)和在它前一名的后缀的最长公共前缀至少是h[i-1]-1。

按照h[1],h[2],……,h[n]的顺序计算,并利用h 数组的性质，时间复杂度可以降为O(n)。

　　即：

　　　rank[i-1] = q-1　suffix(k):        rabaa

　　　rank[i-1] = q　   suffix(i-1):  　 racadabrabaa         h[i-1] = 2;

　　　......

　　　rank[k-1] = p-1   suffix(k-1):     abaa

　　　rank[i] = p          suffix(i):  　    acadabrabaa         h[i] = 1 (h[i] >= h[i-1]-1 = 1;)

 

计算数组h[]

可以令i从1循环到n（此循环中i的意义为suffix(i)）按照如下方法依次算出h[i]：

　　若 Rank[i]=1，则h[i]=0。字符比较次数为0。

　　若i=1或者h[i-1]≤1，则直接将Suffix(i)和Suffix(Rank[i]-1)从第一个字符开始依次比较直到有字符不相同，由此计算出h[i]。字符比较次数为h[i]+1，不超过h[i]-h[i-1]+2。

　　否则，说明i>1，Rank[i]>1，h[i-1]>1，根据性质2，Suffix(i)和Suffix(Rank[i]-1)至少有前h[i-1]-1 个字符是相同的，于是字符比较可以从h[i-1]开始，直到某个字符不相同，由此计算出h[i]。字符比较次数为h[i]-h[i-1]+2。

　　可求得最后算法复杂度为O(n)。