LuoguP4759 [CERC2014]Sums 题解

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给定 \(t\) 组数据，每组数据给定一个数 \(n\)，判断 \(n\) 是否能够分解成连续正整数和，能的话给出最小数最大的方案。

数据范围：\(1\leqslant n\leqslant 10^9\)。

Solution

这道题如果暴力枚举的话，看数据范围就知道肯定会爆炸。因此我们要考虑推式子。

首先，我们设分解后的数列长度为 \(k\)，首项为 \(a_1\)。那么显然得到 \(\text{(1)}\) 式：

\(\begin{aligned}n&=\dfrac{(a_1+(a_1+k-1))k}2\\&=\dfrac{(2a_1+k-1)k}2\end{aligned}\)

由于 \(a_1,k>0\)，在 \(a_1>0\) 两边同时加上 \(a_1+k-1\) 得：

\[2a_1+k-1>k
\]

然后我们由 \(\text{(1)}\) 式可得 \(2a_1+k-1=\dfrac{2n}{k}\)，代入不等式：

\[\begin{aligned}\dfrac{2n}{k}&>k\\k^2&<2n\\k&<\sqrt{2n}\end{aligned}
\]

我们由样例可得 \(k\geqslant 2\)（读者自证不难），又因为 \(k\) 是正整数，所以得到了 \(k\) 的范围为：\(k\in[2,\left\lfloor\sqrt{2n}\right\rfloor]\)。

这样我们就可以考虑通过枚举 \(k\) 来求得答案。现在看 \(a_1\)。

我们还是通过 \(\text{(1)}\) 式求解：

\[\begin{aligned}2a_1+k-1&=\dfrac{2n}k\\2a_1&=\dfrac{2n-k^2+k}k\\a_1&=\dfrac{2n-k^2+k}{2k}\end{aligned}
\]

又因为 \(a_1\) 是正整数，所以只需要判断是否有下列条件成立即可：

• \(2k\mid(2n-k^2+k)\)。
• \(\dfrac{2n-k^2+k}{2k}>0\)

枚举出符合条件的方案我们就可以输出了，并且我们算一下不难发现，从 \(2\) 枚举到 \(\left\lfloor\sqrt{2n}\right\rfloor\) 第一个找出来的方案就是题目所要求的最小数最大的方案。注意输出的格式即可。如果枚举完了还是没有找到方案那就直接输出 IMPOSSIBLE 就好。

Code

int main() {
	MT {
		int n = Rint, flag = 1;
		F(len, 2, (int)sqrt(2 * n)) {
			if(!((2 * n - len * len + len) % (2 * len)) && (2 * n - len * len + len) / (2 * len) > 0) {
				int a1 = (2 * n - len * len + len) / (2 * len);
				printf("%d = ", n);
				F(i, a1, a1 + len - 1) {
					printf("%d ", i);
					if(i != a1 + len - 1) printf("+ ");
					else puts("");
				}
				flag = 0; break;
			}
		}
		if(flag) puts("IMPOSSIBLE");
	}
	return 0;
}