P6624-[省选联考2020A卷]作业题【矩阵树定理,欧拉反演】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6624

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题目大意

\(n\)个点的一张图，每条边有权值，一棵生成树的权值是所有边权和乘上边权的\(gcd\)，即

\[val(T)=\left(\sum\limits_{i=1}^{n-1} w_{e_i}\right) \times \gcd(w_{e_1},w_{e_2},\dots,w_{e_{n-1}})
\]

求所有生成树的权值和

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解题思路

首先要知道一个东西\(\varphi*I=id\)，于是我们就有

\[gcd(w_1,w_2,\dots,w_n)=\sum_{d|w_1,d|w_2,\dots,d|w_n}\varphi(d)
\]

然后化进这个式子里就是

\[\left(\sum\limits_{i=1}^{n-1} w_{i}\right) \times \sum_{d|w_1,d|w_2,\dots,d|w_n}\varphi(d)
\]

然后把\(\varphi(d)\)丢出去就是

\[\sum_{d=1}^n\varphi(d)\times\left(\sum\limits_{i=1,d|w_i}^{n-1} w_{i}\right)
\]

之后就是怎么快速算后面那个东西的事情了。

一个比较朴素的做法是枚举每一条边产生的贡献，然后固定这条边然后矩阵树求一次答案乘上这条边就好了。

但是这个比较慢，我们可以利用生成函数的思想，每一条边权变为\(F_i(x)=w_ix+1\)的一个多项式，然后所有多项式乘起来之后的一次项系数就是答案了。因为这样只会选择一条边的\(w_i\)

多项式除法的话用的比较少，这里化一下

\[\frac{ax+b}{cx+d}=zx+w\Rightarrow ax+b=zcx^2+(zd+cw)x+wd
\]

然后二次项我们直接丢掉就有

\[b=wd\Rightarrow w=\frac{b}{d}
\]

带进后面那个去就有

\[a=zd+c\frac{b}{d}\Rightarrow z=\frac{ad-cb}{d^2}
\]

所以

\[\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{ad-cb}{d^2}x+\frac{b}{d}
\]

这样时间复杂度是\(O(\ max\{w_i\}(m+n^3)\ )\)的，好像过不了，可以把边数不够\(n-1\)的直接不管，这样可以省去很多无用情况

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,P=998244353;
struct fuc{
    ll x,y;
    fuc(ll xx=0,ll yy=0)
    {x=xx;y=yy;return;}
};
ll power(ll x,ll b){
    ll ans=1;x%=P;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*x%P;
        x=x*x%P;b>>=1;
    }
    return ans;
};
ll inv(ll x){return power(x,P-2);}
fuc operator+(fuc a,fuc b)
{return fuc((a.x+b.x)%P,(a.y+b.y)%P);}
fuc operator-(fuc a,fuc b)
{return fuc((a.x-b.x+P)%P,(a.y-b.y+P)%P);}
fuc operator*(fuc a,fuc b)
{return fuc((a.x*b.y+a.y*b.x)%P,a.y*b.y%P);}
fuc operator/(fuc a,fuc b)
{return fuc((a.x*b.y-b.x*a.y+P)%P*inv(b.y*b.y)%P,a.y*inv(b.y)%P);}
ll n,m,ans,x[N],y[N],w[N],phi[N],pri[N],cnt;
bool v[N];fuc a[31][31];
fuc det(){
    fuc ans(0,1);ll f=1;
    for(ll i=1;i<n;i++){
        ll w=i;
        for(ll j=i;j<n;j++)
            if(a[i][j].y){
                if(i!=j)f=-f;
                w=j;break;
            }
        swap(a[i],a[w]);
        if(!a[i][i].y)return fuc(0,0);
        ans=ans*a[i][i];
        fuc inv=fuc(0,1)/a[i][i];
        for(ll j=n-1;j>=i;j--)
            a[i][j]=a[i][j]*inv;
        for(ll j=i+1;j<n;j++){
            fuc rate=a[j][i];
            for(ll k=i;k<n;k++)
                a[j][k]=a[j][k]-rate*a[i][k];
        }
    }
    return (ans.x*f+P)%P;
}
void init(ll n){
    phi[1]=1;
    for(ll i=2;i<=n;i++){
        if(!v[i])pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++){
            v[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                break;
            }
            phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
        }
    }
    return;
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    ll mx=0;
    for(ll i=1;i<=m;i++){
        scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&y[i],&w[i]);
        x[i]--;y[i]--;mx=max(mx,w[i]);
    }
    init(mx);
    for(ll i=1;i<=mx;i++){
        ll cnt=0;
        for(ll j=1;j<=m;j++)
            if(w[j]%i==0)cnt++;
        if(cnt<n-1)continue;
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(ll j=1;j<=m;j++)
            if(w[j]%i==0){
                a[x[j]][x[j]]=a[x[j]][x[j]]+fuc(w[j],1);
                a[y[j]][y[j]]=a[y[j]][y[j]]+fuc(w[j],1);
                a[x[j]][y[j]]=a[x[j]][y[j]]-fuc(w[j],1);
                a[y[j]][x[j]]=a[y[j]][x[j]]-fuc(w[j],1);
            }
        (ans+=phi[i]*det().x%P)%=P;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}