treap学习笔记

treap是个很神奇的数据结构。

给你一个问题，你可以解决它吗？

这个问题需要treap这个数据结构。

众所周知，二叉查找树的查找效率低的原因是不平衡，而我们又不希望用各种奇奇怪怪的旋转来使它平衡，那么该怎么办呢？这时候，FHQ跳出来说了一句：我的treap，不需要旋转！

FHQ Treap的基本操作

首先要理解节点的修正值fix。这个值是在初始化的时候随机出来的，这个treap中所有的节点的fix要满足堆序

split

第一个操作是把一个treap分成两个treap，其中第一个treap的元素个数/数值最大值有要求，并且第一个treap中的所有元素要小于第二个treap中的所有元素

这个很好满足堆序，因为有这样一个性质：一个treap的子树一定也是个treap。所以我们递归一下，判断这个大treap的左子树是否满足条件，是否可以把左子树全部归给第一个treap就可以了。

merge

第二个操作是把两个treap合并成一个treap，其中第一个treap的所有元素小于第二个treap中的所有元素

二叉查找树的性质很好满足：第一个treap肯定是放在第二个treap的左子树或者第二个treap放在第一个treap的右子树。堆序也很好满足：直接判断两个根的fix的大小情况，看是把第一个treap放在第二个treap的左子树还是第二个treap放在第一个treap的右子树即可。

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然后，根据这两个操作，我们可以轻易地做到所有的询问：

1. 插入x：把treap按照小于等于x和大于x分成两个treap，把x作为单独一个treap，几个按顺序合并即可。
2. 删除x：把treap按照小于x，等于x和大于x分成三个treap，把中间的那个扔掉，另外两个合并即可。
3. 查询x的排名：把treap按照小于x和大于等于x分成两个treap，第一个treap的大小+1就是x的排名。
4. 查询排名为x的数：直接和正常二叉查找树一样递归寻找大小大于等于k的第一个子treap就可以了
5. 求x的前驱：把treap按照小于x和大于等于x分成两个treap，第一个treap的最后一个数就是x的前驱。
6. 求x的后继：把treap按照小于等于x和大于x分成两个treap，第二个treap的第一个数就是x的后继。

代码

FHQ Treap的高级操作

前面一道题直接套模板就很好解决，但是如果是这个问题呢？

这里就需要一些类似于线段树的懒标记的东西。对于每一个节点，我们除了之前存的子树大小，节点的值，节点的修正值外，还需要存下列东西：

• 该子树统一被赋的值
• 该子树是否已经被反转了
• 该子树的所有数字的和
• 该子树的最大前缀和、后缀和（可以不选）、子序列和

其中，第四项是专门处理6号询问的，我们可以用一种分治的思想：对于一个子treap内的最大子序列和，我们可以分成三种情况考虑：

1. 这个最大和子序列全部位于这个treap的左子树内
2. 这个最大和子序列全部位于这个treap的右子树内
3. 这个最大和子序列跨左右子树，同时也包含这个节点上的数

前两种情况可以递归处理，第三种情况可以分成左子树的一个后缀+当前节点的值+右子树的一个前缀。

而最大前缀、后缀和又如何记录呢？以前缀为例，我们可以分成两种情况考虑：

1. 这个最大和前缀完全包含在左子树内
2. 这个最大和前缀跨整个左子树，当前节点和右子树的一个前缀

第一种情况可以递归处理，第二种情况也不难，就是左子树的和+当前节点值+右子树最大前缀

然后下推操作应该怎么实现呢？

不难发现顺序是这样的：

1. 反转区间，即交换左右子树
2. 修改权值，即把当前子treap统一赋的值更新
3. 修改和，就根据新的赋值乘一下这个子树的大小

然后还要一个上拉操作，就是更新最大前缀、后缀和以及最大子序列和的操作，按照上面讲的做一下就好了

容易写错的地方

1. 下推操作时注意是把两个儿子的子树和、前缀后缀最大和更新，而在刚打上标记的时候就应该把自己更新
2. 反转区间的时候需要把最大前缀/后缀和交换一下

代码