CF1146 Forethought Future Cup Elimination Round Tutorial

CF1146 Forethought Future Cup Elimination Round Tutorial

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叮，守夜冠军卡

https://codeforces.com/blog/entry/66639

B

有一个串\(s\)，生成了一个新串\(t=s+s'\)，\(s'\)是\(s\)去掉所有'a'之后的串，给出\(t\)，求\(s\)

如果只看不是'a'的数量也只有最多一个位置满足条件，直接判一下这个位置即可。

https://codeforces.com/contest/1146/submission/53060920

C

有一棵n个点的树(\(n\leq 100\))，你可以进行不超过9次询问，每一次询问你给出两个非空且不交的集合\(x,y\)，返回\(\max_{a\in x,b\in y}dist(a,b)\)。求树的直径

考虑\(query(S)=\max_{a,b\in S}dist(a,b)\)，答案就是\(query(\{1,2,...,n\})\)。

\(query(S)\)可以先将\(S\)分成两个集合\(A,B\)，询问\(A,B\)，再分别处理\(query(A)\)和\(query(B)\)，\(query(S)\)就是这些的最大值。如果A,B尽量平均分配，那么只需要\(\log n\)次就可以将\(S\)分的只剩一个点。但是这样好像还是\(O(n)\)的，然后又发现可以分别处理\(query(A)\)和\(query(B)\)的时候，将\(A\)分成\(A_1,A_2\)，\(B\)分成\(B_1,B_2\)，那么询问可以合在一起询问。每一层都合在一起询问就只需要\(\log n\)了（所以\(n\)还能出大一点？）

https://codeforces.com/contest/1146/submission/53065055

D

长者在数轴的\(0\)位置。长者有两个正整数\(a,b\)，如果当前长者在位置\(k\)，长者可以用simple的力量将自己传送到\(k+a\)或者\(k-b\)位置。

但是长者感觉这样很无聊所以打算将自己限制在一段区间里。\(f(x)\)表示长者只能在\([0,x]\)区间里移动，从\(0\)开始能到达的整点数量。长者想求\(\sum_{i=0}^mf(i)\)。

\(m\leq 10^9,a,b\leq 10^5\)

比赛不知道抽啥风想不出来。。。。可能是守夜自带debuff？？

写了个比较好理解的做法

显然法证明\(x\)较大（具体是\(x\geq a+b\)）时\(f(x+a)=f(x)+\frac{a}{\gcd(a,b)}\)

设\(p_i\)表示最小的\(r\)使得\(0\)只经过\([0,r]\)能到达\(i\)（如果永远不能则为\(\infty\)）

可以用一个最短路求出\(p_i\)

那么\(\sum_{i\leq x}f(i)=\sum_{j=0}^i\max(0,x-p_j+1)\)

这样可以\(O(a+b)\)直接计算出前面的一段\(f\)（看代码）

\(\geq a+b\)的部分，可以用上面的式子算

对每一个\(i\mod a\)，\(f\)就是一段等差数列，直接套公式算即可。

注意最短路算\(f\)要算到\(2a+b\)

https://codeforces.com/contest/1146/submission/53115782

E

有一个数列，每次操作给定x和不等号，将\(>x\)或\(<x\)的所有数乘-1，求最后数列。所有数的绝对值\(\leq 100000\)

显然只要对每个数算最后情况就行了。好像不是很好算，发现对于每个数\(x>0\)，\(x\)与\(-x\)最后只会有4中情况：都不变，都变成相反数，都变成\(-x\)，都变成\(x\)。

只要用线段树维护这个东西，分类讨论一下就好了。

线段树维护两个标记：区间赋值（都变成\(-x\)，都变成\(x\)），区间取反（都不变，都变成相反数），计算答案时如果有区间赋值标记则优先，否则用区间取反标记。

https://codeforces.com/contest/1146/submission/53072116

F

有一个\(1\)为根的有根树，设\(L\)是一个叶子节点的集合，\(f(L)\)就是这些集合的最小联通子图。

你要给叶子分成若干个集合，使得任意\(f(x)\)和\(f(y)\)（\(x,y\)都是你分出来的集合），\(f(x)\cap f(y)=\emptyset\)。求方案数。

定义\(x,y\)相连表示，最终存在一个\(f(L)\)使得\(x,y\in f(L)\)。

设\(f[x][0]\)表示\(x\)最终不与父亲相连的方案数，\(f[x][1]\)表示\(x\)最终与父亲相连的方案数。

然后还要将\(x\)与一些儿子合并。

如果合并了\(0\)个儿子，那么\(x\)最终不在任何一个集合，当然不能和父亲相连；

如果合并了\(1\)个儿子，那么一定在其他子树还有相同集合的，也就是必须和父亲相连；

如果合并了\(\geq 2\)个儿子，可以任意决定是否与父亲相连。

直接dp就好了。

https://codeforces.com/contest/1146/submission/53121149

G

竟然又是一道sb套路一眼秒的网络流，给出题人好评！

某沙雕要修\(n\)栋房子，每栋房子高度可以是\(0\)到\(h\)，如果高度是\(a\)获得\(a^2\)的收益。还有\(m\)个限制，如果\(l\)到\(r\)有任意一栋房子高度大于\(x\)则要付出\(c\)的代价。

所有数\(\in [0,50]\)

显然裸的最小割，会做切糕的都会这个题。还有一道差不多的：cf434d

https://codeforces.com/contest/1146/submission/53073780

H

平面上有\(n\)个点，求构成的五角星数量。任意三点不共线。

五角星可以不是正五角星，只要对应的交叉点存在就可以计算。

这题应该不会改（鱼的恐惧）

upd：改了改了，真香

这题比鱼不知水到哪里去了

五角星可以转化成5个点的凸包，就是5条极角序线段上升的线段。

设\(f[i][j][k]\)表示从\(i\)开始到\(j\)的一个线段路径共有\(k+1\)条边，那么每次按照极角序新加进来一个线段\(x\rightarrow y\)，转移是\(f[x][y][0]=1,f[S][y][k]+=f[S][x][k-1]\)

https://codeforces.com/contest/1146/submission/53116991