luogu1120 小木棍【数据加强版】 暴力剪枝

题目大意

乔治有一些同样长的小木棍，他把这些木棍随意砍成几段，直到每段的长都不超过50。现在，他想把小木棍拼接成原来的样子，但是却忘记了自己开始时有多少根木棍和它们的长度。给出每段小木棍的长度，编程帮他找出原始木棍的最小可能长度。

总体思路

令totLen为所有小木棍总长度，枚举每一个原始木棍的可能长度eachLen（sumLen%eachLen==0），判断那些原始木棍能否全部由小木棍凑成。

判断过程的朴素算法为：枚举原始木棍的每一种排列方式，看看这样能否凑成totLen/eachLen个原始木棍。

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一些定义

• 到当前木棍的排列：Dfs到当前木棍时，将Dfs访问过的木棍按访问的顺序排成一行，这一行木棍的排列 叫做到当前木棍的排列。
• 某一木棍的长度前缀和：当前木棍排列中的第一个木棍到“某一”木棍之间（包括这两个木棍）木棍的总长度。
• 前n个木棍能凑成：在到当前木棍的排列中，对于每个k∈[1, N]∩Z，都能在到当前木棍排列中找到一个木棍，使得该木棍的长度前缀和=k*eachLen。
• 组合成的木棍组：在上述每个k∈[1,N]∩Z，k对应的木棍和k-1对应的木棍之间的（不包括k-1对应木棍，包括k对应木棍）木棍们。
• 排序变换：将每个组合成的木棍组内的木棍从大到小排列，然后将木棍组按照木棍组中的第一个木棍的长度从大到小排列。

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隐式图中，每个节点的值为：

1. 这是前几个木棍
2. 到当前木棍的排列。

每条边的值为新增的木棍的长度。

但是此朴素算法效率很低。

整体算法的改变

当Dfs到当前木棍时，如果前（当前木棍的长度前缀和/eachLen）个原始木棍不能凑成，则Dfs下去的结果肯定不成立。所以Dfs到当前节点时，应当保证前（当前木棍的长度前缀和/eachLen）个原始木棍能凑成（条件*）。

怎么表示当前木棍的排列

因为保证了前（当前木棍的长度前缀和/eachLen）个原始木棍能凑成，所以我们不用记录组合成的木棍组的具体排列，只要记录哪些木棍访问过了即可。而对于第（当前木棍的长度前缀和/eachLen+1）个原始木棍（以后简称当前原始木棍），我们要达到的，是使得以后在处理后一个原始木棍时，仍然满足条件*。换句话说，就是把当前处理的原始木棍拼满。所以我们要记录一个rest，表示要凑成当前原始木棍，还需要的小木棍的长度为多少。这样，每个节点的值就变成了：

1. 当前是前几个木棍（cnt）。
2. rest.
3. 每个木棍是否访问过的集合。

剪枝

排序

假设：对于每个能凑成totLen/eachLen个原始木棍的排列，对其进行排序变换。对于每种排列，变换过后的结果与原来是等价的，但是多个排列经过变换后变成了同一种排列。这样，我们规定每一种可行排列都满足每个木棍组内的木棍长度递减，木棍组的第一个木棍的长度递减，这样就缩小了解空间。具体操作为：运算前先将每个木棍从大到小排序。Dfs当前木棍时记录当前从数组中哪个下标处开始，备选下一个木棍就从当前位置枚举。

为什么排序从大到小

因为如果一个木棍的排列不能凑成凑成totLen/eachLen个原始木棍，长度长的木棍在先可以较早地判断出该排列不满足要求。

排除显然不成立的情况

位于当前木棍扩展时，当前备选木棍与上一次的备选木棍长度相等

遇到本情况显然跳过，因为Dfs到上一次所选节点时，其备用木棍组合包括了Dfs到当前备选木棍时的木棍组合。前者都不成立，后者当然不成立。

（当前木棍的长度前缀和%eachLen）==0时，第一个备选木棍便无法（通过放入第（当前木棍的长度前缀和/eachLen+1）个原始木棍）来凑成所有原始木棍。

本情况也要跳过。假设不跳过，则这第一个备选木棍就要在后后个原始木棍中再次出现。对以后的组合成的木棍组进行排序变换，则那个木棍又出现在了第（当前木棍的长度前缀和/eachLen+1）原始木棍中，这与当前情况矛盾。

当前木棍的长度=eachLen，还不能凑成所有原始木棍

跳过，证明与上同理。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cassert>
using namespace std;

const int MAX_STICK = 70;
bool Vis[MAX_STICK];
int Len[MAX_STICK];
int Tot;
#define LOOP(i, n) for(int i=1; i<=n; i++)
#define LoopFrom(i, m, n) for(int i=m; i<=n; i++)

bool cmp(int a, int b)
{
	return a > b;
}

bool Dfs(int cnt, int rest, int eachLen, int begin)
{
	if (cnt == Tot)
		return rest == 0;
	if (rest == 0)
	{
		rest = eachLen;
		begin = 1;
	}
	int prevLen = -1;
	LoopFrom(next, begin, Tot)
	{
		if (Len[next] == prevLen || Vis[next] || rest-Len[next]<0)
			continue;
		prevLen = Len[next];
		Vis[next] = true;
		if (Dfs(cnt + 1, rest - Len[next], eachLen, next+1))
			return true;
		else if (rest == eachLen || rest-Len[next]==0)
		{
			Vis[next] = false;
			return false;
		}
		else
		{
			Vis[next] = false;
			continue;
		}
	}
	return false;
}

int main()
{
#ifdef _DEBUG
	freopen("c:\\noi\\source\\input.txt", "r", stdin);
#endif
	Tot = 0;
	int tempTot;
	scanf("%d", &tempTot);
	int maxLen = 0, sumLen = 0, stickLen;
	while(tempTot--)
	{
		scanf("%d", &stickLen);
		if (stickLen <= 50)
		{
			Len[++Tot] = stickLen;
			maxLen = max(maxLen, stickLen);
			sumLen += stickLen;
		}
	}
	sort(Len + 1, Len + Tot + 1, cmp);
	LoopFrom(eachLen, maxLen, sumLen)
	{
		if (sumLen%eachLen)
			continue;
		memset(Vis, false, sizeof(Vis));
		if (Dfs(0, 0, eachLen, 1))
		{
			printf("%d\n", eachLen);
			break;
		}
	}
	return 0;
}