DFS应用——找出无向图的割点

【0】README

0.1） 本文总结于 数据结构与算法分析， 源代码均为原创， 旨在 理解 "DFS应用于找割点" 的idea 并用源代码加以实现；

0.2） 必须要事先 做个specification的是：对于给定图的除开起始vertex的那些 vertexes，都可以通过我们的 rules（见下文）找出割点，即对于根（start），我们需要做个special 的test，参见main函数中最后的源码；

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【1】 无向图割点相关

1.1）割点定义（articulate point）： 如果一个图不是双连通的， 那么将其删除后图将不再连通的那些顶点叫做割点；

1.2）双连通性定义： 如果一个连通的无向图中的任一顶点删除之后， 剩下的图仍然是连通的， 那么这样的无向连通图就是 双连通的；

1.3）看个荔枝： 如果节点是 路由器或者交换机 的话， 边是网络链路， 那么若有一台 路由器或者交换机 出故障而不能运行， 则网络并不会受到影响的；

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【2】深度优先搜索提供一种找出连通图中的所有割点的线性时间算法

2.1）首先， 从图中任一顶点开始， 执行深度优先搜索并在顶点被访问时给它们编号， 对于每一个顶点，我们称其为先序编号 Num(v) （注：在源代码中，vertexIndex 表示Num的含义，下文不再累述)；

2.2）然后， 对于深度优先搜索生成树上的每一个顶点v， 计算编号最低的顶点， 我们称之为 Low（v），该点从v 开始， 通过树的零条或多条边且可能还有一条背向边而达到 （注：在源代码中，vertexLow 表示Low的含义，下文不再累述)；

Attention）右上图中的深度优先搜索树首先指出先序编号，然后指出上述法则下可达到的最低编号顶点；

2.3）从A、B、C开始的可达到最低编号顶点为1（A）， 因为它们都能够通过树的边到D， 然后再由一条背向边回到A；

2.4）我们可以通过对该深度优先生成树执行一次后序遍历有效地算出 Low， 根据low的定义，可知Low（v）是：

• （1） Num（v） +
• （2） 所有背向边（v, w）中的最低Num（w） +
• （3） 树的所有边（v, w）中的最低Low（w）， 以上三者中 的最小者；
• 对以上规则的分析： 第一个条件是不选取边； 第二种方法是不选取树的边 而是选取一条背向边；第三种方法则是选择树的某些边以及可能还有一条背向边；

Attention）

• A1）由于我们需要对v 的所有儿子计算出 Low 值后才能计算Low(v) , 因此这是一个后序遍历；
• A2）对于任一条边（v, w）， 我们只要检查Num（v）和 Num（w）就可以知道它是树的一条边还是一条背向边（因为如果是深度优先树的边， Num(v) < Num(w)， 因为v比w先被访问到， 而如果是背向边，Num(v) >Num(w)的 ）；
• A3）因此， Low（v） 容易计算： 我们仅仅需要扫描v 的邻接表，应用适当 的法则，并记住最小值。 所有的计算花费 O（|E| + |V|）；

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【3】剩下要做的就是利用 这些信息找出所有的割点。

3.1）对于根（见本文README部分）：根是割点当且仅当它有多于一个的儿子（根至少要有两个儿子），因为如果它有两个儿子， 那么删除根则使得节点不连通而分布在不同的子树上；如果根只有一个儿子， 那么除去该根只不过是断离该根。

3.2）对于任何其他顶点v： 它是割点当且仅当它有某个儿子w 使得Low（w）>= Num(v)； （注意， 这个条件在根处总是满足的； 因此，需要进行特别的测试）（干货）

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【4】source code + printing results

4.1）download source code： https://github.com/pacosonTang/dataStructure-algorithmAnalysis/tree/master/chapter9/p242_dfs_findArticulation

4.2）source code at a glance：（for complete code , please click the given link above）

• 4.2.1） 找割点的函数

// "find the articulation point from the given graph"
void findArticulate(Vertex vertex, int depth)
{
	int i;
	AdjTable temp;
	Vertex adjVertex;						

	visited[vertex] = 1; // update visited status of vertex
	vertexIndex[vertex] = counter++; // evaluating vertex index with counter
	vertexLow[vertex] = vertexIndex[vertex]; // the 1st rule: evaluating vertex low with counter
	temp = adj[vertex];	

	while(temp->next)
	{
		adjVertex = temp->next->vertex;
		if(visited[adjVertex]) // judge whether the adjVertes was visited before
		{
			if(vertexIndex[vertex] > vertexIndex[adjVertex] && parent[vertex] != adjVertex)
			{
				parent[adjVertex] = vertex; // building back side, attention of condition of building back side above
				//ex vertex= 3, adjVertex = 0

				// just for printing effect
				for(i = 0; i < depth; i++)
					printf("           ");
				printf("vertex[%c]->vertex[%c] (backside) \n", flag[vertex], flag[adjVertex]);

				// only if there's a backside, we apply the 2rd rule into the graph
				vertexLow[vertex] = minimum(vertexLow[vertex], vertexIndex[adjVertex]); // the 2rd rule: find lowest vertexIndex[w] among all edges(v, w)
			}
		}

		// if(!visited[adjVertex])
		// there's the case no backside, and if condition sentences refers to case of backside
		else
		{
			parent[adjVertex] = vertex;
			// just for printing effect
			for(i = 0; i < depth; i++)
				printf("           ");
			printf("vertex[%c]->vertex[%c] (building edge)\n", flag[vertex], flag[adjVertex]);
			findArticulate(adjVertex, depth+1);

			if(vertex != start) // judge whether the vertex is the start (root) or not
				if(vertexLow[adjVertex] >= vertexIndex[vertex])
					printf("\n\t vertex[%c] proves to be an articulation point !", flag[vertex]);

			vertexLow[vertex] = minimum(vertexLow[vertex], vertexLow[adjVertex]); // the 3rd rule: find lowest verdexLow[w] among all edges(v, w)
		}

		temp = temp->next;
	}
}  

• 4.2.2） 判断start顶点是否是割点的函数

int isStartArticulation()
{
	int i;
	AdjTable temp;
	Vertex adjVertex;	

	temp = adj[start];	

	while(temp->next)
	{
		adjVertex = temp->next->vertex;
		if(adjVertex == start)
		{
			temp = temp->next;
			continue;
		}

		dfs(adjVertex, 1);
		for(i=0; i<size; i++)
			if(visited[i] != 1) // "refers that the start vertex is the articulation point"
				return 1;		 

		temp = temp->next;
	}

	return 0;
}

4.3）printing results：