【LOJ6043】「雅礼集训 2017 Day7」蛐蛐国的修墙方案（搜索技巧题）

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大致题意： 给你一个长度为\(n\)的排列\(p\)，要求构造一个合法的括号序列，使得如果第\(i\)个位置是左括号，则第\(p_i\)个位置一定是右括号。

暴搜

很容易想出一个暴搜。

即对于每一个没有确定的位置\(x\)，无非有两种情况：

• 选左括号。前提是\(p_x\)没被选过或者\(p_x\)为右括号，然后标记第\(p_x\)位为右括号。
• 选右括号。我们可以开一个变量\(v\)来记录左括号个数\(-\)有括号个数，则选右括号的前提是\(v>0\)。（因为要是一个合法的括号序列）

最后判断\(v\)是否恰好等于\(0\)即可。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100
using namespace std;
int n,a[N+5];char s[N+5];
I void dfs(CI x,CI v)//x记录当前位置，v记录左括号个数减右括号个数
{
	if(x>n) return (void)(!v&&(puts(s+1),exit(0),0));//如果x大于n且v恰好为0，则输出答案，退出程序
	if(s[x])//如果已经确定
	{
		if(s[x]^')') return dfs(x+1,v+1);//如果是左括号，搜索下一位
		if(v) return dfs(x+1,v-1);return;//如果是右括号且v大于0，搜索下一位
	}
	if(a[x]>x||s[a[x]]^'(') s[x]='(',s[a[x]]=')',dfs(x+1,v+1),s[x]=s[a[x]]='\0';//选左括号
	if(v) s[x]=')',dfs(x+1,v-1),s[x]='\0';//选右括号
}
int main()
{
	RI i;for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%d",a+i);//读入
	return dfs(1,0),0;
}

所以这样就有\(81\)分了。

如果你是常数之神，说不定能直接过。

观察性质

接下来，我们要观察一下这个题目中的一个性质。

注意到它保证有解，再结合题意，如果我们把\(i->p_i\)看成一条边，则原序列可以看成若干个环，而这些环一定都是偶环（不然就无解了）。

而对于一个偶环，我们对它的选择必然是左括号与右括号相交替的。

也就是说，对于一个偶环，只有两种选择方法，似乎暴枚即可。

然而，要特判环长为\(2\)的情况（不然会像我第一次那样只有\(86\)分——也就比暴搜多\(5\)分），贪心一下即可发现肯定是左边那位选左括号，右边那位选右括号。

这样就能过了。

关于时间复杂度有严谨的证明：

考虑我们特判了环长为\(2\)的情况，也就是说环长至少为\(4\)。

则最多\(100÷4=25\)个环，而\(2^{25}\)稳过。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100
using namespace std;
int n,tot,a[N+5],v[N+5];char s[N+5];vector<int> f[N+5];
I void Check()//验证是否为合法括号序列
{
	for(RI i=1,t=0;i<=n;++i) if((t+=(s[i]^')'?1:-1))<0) return;//若出现不合法，直接退出函数
	puts(s+1),exit(0);//合法则输出答案，退出程序
}
I void dfs(CI x)//搜索，判断第i个环的填法
{
	if(x>tot) return Check();RI i,sz=f[x].size();
	if(!(sz^2)) return s[f[x][0]]='(',s[f[x][1]]=')',dfs(x+1);//特判环长为2的情况
	for(i=0;i^sz;++i) s[f[x][i]]=(i&1?'(':')');dfs(x+1);//环中必然是左右括号交替
	for(i=0;i^sz;++i) s[f[x][i]]=(i&1?')':'(');dfs(x+1);//枚举另一种情况
}
int main()
{
	RI i,x;for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%d",a+i);//读入
	for(i=1;i<=n;++i) if(!v[x=i])//如果没访问过
    	{++tot;W(!v[x]) v[x]=1,f[tot].push_back(x),x=a[x];}//找环
	return dfs(1),0;//搜索
}