Poj 1067 取石子游戏（NIM,威佐夫博奕）

一、Description

有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。

Input

输入包含若干行，表示若干种石子的初始情况，其中每一行包含两个非负整数a和b，表示两堆石子的数目，a和b都不大于1,000,000,000。

Output

输出对应也有若干行，每行包含一个数字1或0，如果最后你是胜者，则为1，反之，则为0。

二、题解

        这一题上手的没什么头绪，只能列举一些基本的例子，几乎看不出公式。后来，发现《编程之美》上有这个题目11.1~11.3三小节讲的都是关于“拈”NIM的游戏分析。Nim游戏是博弈论中最经典的模型之一，它又有着十分简单的规则和无比优美的结论. Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种，准确来说，属于“Impartial Combinatorial Games”（以下简称ICG）。Nim的一个变种就是威佐夫博奕。

        这里有一种O（n）的解法列举出（1,1）~（10,10）的情况。然后去除安全局面，找到全部的不安全局面。发现了以下规律：一般而言，第n组的不安全局面（an,bn）可以由以下定义得到：

1. a1=1,a2=2;
2. 若a1,b2,...,an-1,bn-1已经求得，则定义an为未出现在这2n-2个数中的最小整数；
3. bn=an+n;

因此，我们可以根据上述定义，从第一个不安全局面（1,2）出发，依次向上推理，直到推理出   足够的不安全局面来判定一个随机给定的状态下，先取者是否能够取胜。

import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;

public class Main {
	public static ArrayList<Integer> a1=new ArrayList<Integer>();
	  public static boolean nim(int x,int y){
		  //speical case
		  if(x == y){
			  return true;
		  }
		  //swap the number
		  if(x > y){
			  int t=x;
			  x=y;
			  y=t;
		  }
		  //basic cases
		  if(x==1 && y==2){
			  return false;
		  }
		  a1.add(2);
		  int n=1;
		  int delta=1;
		  int addition=0;

		  while(x > n){
			  //find the next n
			  while(a1.indexOf(++n)!=-1);
			  delta++;
			  a1.add(n+delta);
			  addition++;

			  if(a1.size()>2 && addition > 100){
				  //因为数组中保存着n从1开始的不安全局面，所以在数组元素上个数超过100是删除无用的不安全局面
				  //使数组保持在一个较小的规模，以降低后面IndexOf()函数调用的时间复度。
				  shrinkArray(a1,n);
				  addition=0;
			  }
		  }

		  if((x != n) || (a1.indexOf(y) == -1)){
			  return true;
		  }else{
			  return false;
		  }
	  }

	 public  static void shrinkArray(ArrayList<Integer> a1,int n){
		  for(int i=0;i<a1.size();i++){
			  if((int)a1.indexOf(i)>n){
				  for(int j=0;j<i;j++){
					  a1.remove(j);
				  }
				  return;
			  }
		  }
	  }
	public static void main(String[] args){
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		int x,y;
		while(sc.hasNext()){
			x=sc.nextInt();
			y=sc.nextInt();
			if(nim(x,y)){
				System.out.println("1");
			}else{
				System.out.println("0");
			}
		}
	}
}

提交后发现超时了，于是用了后面介绍的时间复杂度为O（1）的解法：

       我们看看能否找出不安全局面的规律，最好有一个通用的公式可以表示。所有不安全局面的两个数合起来就是所有正整数的集合，且没有重复的元素，而且所有不安全局面的两个数之差的绝对值合起来也是相同情况。我们可以用一个通项公式能计算出所有不安全局面，即：

• an=[ a * n ],bn=[ b * n ],( [ ] 表示对一个数向下取整 )
• a = ( 1 + sqrt( 5 )) / 2;
• b = ( 3 + sqrt( 5 )) / 2;(证明略)

import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;

public class Main {
	static ArrayList<Integer> a1=new ArrayList<Integer>();
	  public static boolean nim(int x,int y){
		  double a,b;
		  a=(1 + Math.sqrt(5)) / 2;
		  b=(3 + Math.sqrt(5)) / 2;
		  if(x == y){
			  return true;
		  }
		  if(x > y){
			  int t=x;
			  x=y;
			  y=t;
		  }
		  return (x!=(long)Math.floor((y-x)*a));
	  }

	public static void main(String[] args){
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		int x,y;
		while(sc.hasNext()){
			x=sc.nextInt();
			y=sc.nextInt();
			if(nim(x,y)){
				System.out.println("1");
			}else{
				System.out.println("0");
			}
		}
	}
}

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