「LuoguP2252」取石子游戏（威佐夫博弈

题目背景

无

题目描述

有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。

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第一行共两个数a, b，表示石子的初始情况。

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第一行为一个数字1、0或-1，如果最后你是胜利者则为1；若失败则为0；若结果无法确定则为-1。

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8 4

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说明

[数据范围]

50%的数据，a, b <= 1000

100%的数据，a, b <= 1 000 000 000

题解

裸的威佐夫博弈。

威佐夫博弈（Wythoff's game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从任一堆取至少一个或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。 ——百度百科

在威佐夫博弈中，有这样一种性质：

若当前为一个奇异局势，则先手必败；否则先手必胜。

其中奇异局势，是这样的一系列数对——

$(0,0),(1,2),(3,5),(4,7),(6,10),(8,13),(9,15),(11,18),(12,20)......$

观察可得，若设第$k$组奇异局势为$(a[k],b[k])$的话，那么有：

$1. b[k]==a[k]+k$

$2. a[k]$为这之前未出现过的数中最小的一个。

奇异局势有如下性质：

$1.$任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

由于$a[k]$是未在前面出现过的最小自然数，所以有$a[k] > a[k-1] $，而 $b[k]= a[k] + k > a[k-1] + k > a[k-1] + k - 1 = b[k-1] > a[k-1]$ 。所以性质$1$成立。

$2.$任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

事实上，若只改变奇异局势$(a[k],b[k])$的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使$(a[k],b[k])$的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。

$3.$采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。 ——百度百科

要么保持$x$不变，把$y$减到$x$对应的$a[k]$；

要么保持$x$不变，把$y$减到$x$对应的$b[k]$；

要么把$x$和$y$一起减到$a[y-x],b[y-x]$,

总有一种适合你。

根据奇异局势的定义（面对时先手必败），可证若给定局势为奇异局势，先手必败；

而根据性质$3$，可知若给定局势不是奇异局势，先手可以用一步操作把其变为奇异局势。所以若给定局势不是奇异局势，则先手必胜。

——————

但是递推去求每一个奇异局势的话还是复杂度太高了QAQ

根据一系列推演，可以得到$a[k]$和$b[k]$是一个叫Beatty序列的东西。

证明我也看不懂呐，就当结论记吧QAQ

$a[k]=k*\frac{\sqrt{5}+1}{2},b[k]=a[k]+k$

而且这是一个计算机也能用的公式！（不像Fibonacci通项公式一样因为精度问题不能用QAQ

所以此题解决√

 /*

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     P2252 取石子游戏

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     提交时间 2018-10-01 20:15:45

     耗时/内存

     28ms, 812KB

 */

 #include<algorithm>

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<cmath>

 using namespace std;

 #define LL long long

 int main()

 {

     LL a,b;

     cin>>a>>b;

     if(a>b)swap(a,b);

     LL x=((double)(b-a)*(sqrt(5.0)+1.0)*0.5);

     if(x==a)cout<<;

     else cout<<;

     return ;

 }