POJ1061 青蛙的约会 和 LOJ2721 「NOI2018」屠龙勇士

青蛙的约会

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青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

Source

浙江

分析

设\(a=m-n,b=y-x\)，那么要解决的方程是

\[ax\equiv b\ (\bmod l) \\
\Rightarrow ax+ly=b
\]

那么exgcd就行了，时间复杂度log级别。

#include<iostream>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
    rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x) {return x=read<T>();}
typedef long long ll;

ll exgcd(ll a,ll b,ll&x,ll&y){
	if(!b) return x=1,y=0,a;
	ll g=exgcd(b,a%b,y,x);
	return y-=a/b*x,g;
}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin),freopen(".out","w",stdout);
	ll x,y,m,n,l;
	read(x),read(y),read(m),read(n),read(l);
	ll a=m-n,b=y-x;
	if(a<0) a=-a,b=-b;
	ll g=exgcd(a,l,x,y);
	if(b%g) return puts("Impossible"),0;
	ll ans=x*(b/g);
	printf("%lld\n",(ans%(l/g)+l/g)%(l/g));
	return 0;
}

「NOI2018」屠龙勇士

题目描述

小D 最近在网上发现了一款小游戏。游戏的规则如下：

• 游戏的目标是按照编号$1 \rightarrow n$ 顺序杀掉$n$ 条巨龙，每条巨龙拥有一个初始的生命值$a_i$ 。同时每条巨龙拥有恢复能力，当其使用恢复能力时，它的生命值就会每次增加 $p_i$ ，直至生命值非负。只有在攻击结束后且当生命值恰好为 $0$ 时它才会死去。

• 游戏开始时玩家拥有$m$ 把攻击力已知的剑，每次面对巨龙时，玩家只能选择一
  把剑，当杀死巨龙后这把剑就会消失，但作为奖励，玩家会获得全新的一把剑。
  小D 觉得这款游戏十分无聊，但最快通关的玩家可以获得ION2018 的参赛资格，
  于是小D 决定写一个笨笨的机器人帮她通关这款游戏，她写的机器人遵循以下规则：

• 每次面对巨龙时，机器人会选择当前拥有的，攻击力不高于巨龙初始生命值中攻击力最大的一把剑作为武器。如果没有这样的剑，则选择攻击力最低的一把剑作为武器。

• 机器人面对每条巨龙，它都会使用上一步中选择的剑攻击巨龙固定的$x$ 次，使巨龙的生命值减少$x \times ATK$ 。

• 之后，巨龙会不断使用恢复能力，每次恢复$p_i$ 生命值。若在使用恢复能力前或某一次恢复后其生命值为$0$ ，则巨龙死亡，玩家通过本关。

那么显然机器人的攻击次数是决定能否最快通关这款游戏的关键。小 D 现在得知了每条巨龙的所有属性，她想考考你，你知道应该将机器人的攻击次数$x$ 设置为多少，才能用最少的攻击次数通关游戏吗？

当然如果无论设置成多少都无法通关游戏，输出$-1$ 即可。

输入输出格式

输入格式：

从文件dragon.in 中读入数据。

第一行一个整数T ，代表数据组数。

接下来T 组数据，每组数据包含$5$ 行。

• 每组数据的第一行包含两个整数，$n$ 和$m$ ，代表巨龙的数量和初始剑的数量;

• 接下来一行包含$n$ 个正整数，第$i$ 个数表示第$i$ 条巨龙的初始生命值$a_i$ ;

• 接下来一行包含$n$ 个正整数，第$i$ 个数表示第$i$ 条巨龙的恢复能力$p_i$ ;

• 接下来一行包含$n$ 个正整数，第$i$ 个数表示杀死第$i$ 条巨龙后奖励的剑的攻击力;

• 接下来一行包含$m$ 个正整数，表示初始拥有的$m$ 把剑的攻击力。

输出格式：

输出到文件dragon.out 中。
一共$T$ 行。

第$i$ 行一个整数，表示对于第$i$ 组数据，能够使得机器人通关游戏的最小攻击次数$x$ ，如果答案不存在，输出$-1$。

输入输出样例

输入样例#1：
复制

2
3 3
3 5 7
4 6 10
7 3 9
1 9 1000
3 2
3 5 6
4 8 7
1 1 1
1 1

输出样例#1：
复制

59
-1

说明

第一组数据：

• 开始时拥有的剑的攻击力为$\{1,9,10\}$，第$1$ 条龙生命值为$3$，故选择攻击力为$1$的剑，攻击$59$ 次，造成$59$ 点伤害，此时龙的生命值为$-56$，恢复14 次后生命值恰好为$0$，死亡。

• 攻击力为$1$ 的剑消失，拾取一把攻击力为$7$ 的剑，此时拥有的剑的攻击力为
  $\{7,9,10\}$，第2 条龙生命值为$5$，故选择攻击力为$7$ 的剑，攻击$59$ 次，造成$413$点伤害，此时龙的生命值为$-408$，恢复$68$ 次后生命值恰好为$0$，死亡。

• 此时拥有的剑的攻击力为$\{3,9,10\}$，第$3$ 条龙生命值为$7$，故选择攻击力为$3$ 的剑，攻击$59$ 次，造成$177$ 点伤害，此时龙的生命值为$-170$，恢复$17$ 次后生命值恰好为0，死亡。

• 没有比$59$ 次更少的通关方法，故答案为$59$。

第二组数据：
不存在既能杀死第一条龙又能杀死第二条龙的方法，故无法通关，输出$-1$。

【子任务】

测试点编号	$n$	$m$	$p_i$	$a_i$	攻击力	其他限制
1	$\le 10^5$	$=1$	$=1$	$\le 10^5$	$=1$	无
2	$\le 10^5$	$=1$	$=1$	$\le 10^5$	$=1$	无
3	$\le 10^5$	$=1$	$=1$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	无
4	$\le 10^5$	$=1$	$=1$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	无
5	$\le 10^3$	$\le 10^3$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	特性 1、特性 2
6	$\le 10^3$	$\le 10^3$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	特性 1、特性 2
7	$\le 10^3$	$\le 10^3$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	$\le 10^5$	特性 1、特性 2
8	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
9	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
10	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
11	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
12	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
13	$=1$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	特性 1
14	$=10^5$	$=10^5$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	无特殊限制
15	$=10^5$	$=10^5$	$=1$	$\le 10^8$	$\le 10^6$	无特殊限制
16	$\le 10^5$	$\le 10^5$	所有 $p_i$ 是质数	$\le 10^{12}$	$\le 10^6$	特性 1
17	$\le 10^5$	$\le 10^5$	所有 $p_i$ 是质数	$\le 10^{12}$	$\le 10^6$	特性 1
18	$\le 10^5$	$\le 10^5$	无特殊限制	$\le 10^{12}$	$\le 10^6$	特性 1
19	$\le 10^5$	$\le 10^5$	无特殊限制	$\le 10^{12}$	$\le 10^6$	特性 1
20	$\le 10^5$	$\le 10^5$	无特殊限制	$\le 10^{12}$	$\le 10^6$	特性 1

特性 1 是指：对于任意的 $i$，$a_i \le p_i$。

特性 2 是指：$\operatorname{lcm}(p_i) \le 10^6$，即所有 $p_i$ 的最小公倍数不大于 $10^6$。

对于所有的测试点，$T \le 5$，所有武器的攻击力 $\le 10^6$，所有 $p_i$ 的最小公倍数 $\le 10^{12}$。

保证 $ T, n, m $ 均为正整数。

【提示】

你所用到的中间结果可能很大，注意保存中间结果的变量类型。

题解

仔细阅读发现给每条龙的剑的攻击力是固定的，直接用multiset维护即可。

然后就是要求形如\(atk_i*x+p_i*y=a_i\)的方程组的最小解。

联想到EXCRT解的方程组的形式\(x\equiv a_i\ (\bmod p_i)\)，和线性同余方程\(ax+by=c\)的通解的形式\(x=\frac{c}{d}x_0+t\frac{b}{d},d=\gcd(a,b)\)，

那么这种方程组的解\(x=\frac{a_i}{d}x_0+t\frac{p_i}{d},d=\gcd(atk_i,p_i)\)可以看成同余式\(x\equiv \frac{a_i}{d}x_0\ (\bmod \frac{p_i}{d})\)，然后这就变成了EXCRT解决的问题。

然后推程序里面处理的式子，比较繁琐，没什么意义，不写了。

要注意\(a_i>p_i\)的情况，取模后相当于\(a_i\)变小了，这样会导致\(x\)的解变小。所以要注意\(x\geq\lceil\frac a k\rceil\)。可以求出\(\max\{\lceil\frac a k\rceil\}\)，如果最后总方程的\(c\)小于它，则要补至满足条件的最小值，用式子写一下大概是\(c+m\lceil\frac{\max-c}{m} \rceil\)。

注意数据范围，会爆long long的地方用快速乘。注意处理负数。

时间复杂度\(O(n\log n)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
    rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-') w=-w;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) data=data*10+ch-'0';
    return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x) {return x=read<T>();}
typedef long long ll;
using namespace std;

co int N=1e5+1;
ll a[N],p[N],b[N],X,Y,G;
multiset<ll> s;
multiset<ll>::iterator it;
void exgcd(ll a,ll b){
	if(!b) {
		X=1,Y=0,G=a;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	int t=X;X=Y,Y=t-(a/b)*Y;
}
ll mul(ll b,ll k,ll m){
	ll a=0;
	for(;k;k>>=1,b=(b<<1)%m)
		if(k&1) a=(a+b)%m;
	return a;
}
void dragon(){
	ll n=read<ll>(),m=read<ll>();
	for(int i=1;i<=n;++i) read(a[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i) read(p[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i) read(b[i]);
	s.clear();
	for(int i=1;i<=m;++i) s.insert(read<ll>());
	ll mx=0,c=0;m=1;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		it=s.upper_bound(a[i]);
		if(it!=s.begin()) --it;
		ll k=*it;s.erase(it),s.insert(b[i]);
		mx=max(mx,(a[i]-1)/k+1);
		k%=p[i],a[i]%=p[i];
		if(!k&&a[i]) return puts("-1"),void();
		if(!k&&!a[i]) continue;
		exgcd(k,p[i]);
		if(a[i]%G) return puts("-1"),void();
		p[i]/=G,a[i]=mul(a[i]/G,(X%p[i]+p[i])%p[i],p[i]);
		exgcd(m,p[i]);
		if((a[i]-c)%G) return puts("-1"),void();
		m=m/G*p[i],c=(c+mul(mul(m/p[i],((a[i]-c)%m+m)%m,m),(X%m+m)%m,m))%m;
	}
	printf("%lld\n",c>=mx?c:c+m*(mx-c-1)/m+1);
}
int main(){
	freopen("dragon.in","r",stdin),freopen("dragon.out","w",stdout);
	for(int t=read<int>();t--;) dragon();
	return 0;
}