UVA 12103 - Leonardo's Notebook(数论置换群)

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题意：给定一个字母置换B。求是否存在A使得A^2=B

思路：随意一个长为 L 的置换的k次幂，会把自己分裂成gcd(L,k) 分， 而且每一份的长度都为 L / gcd(l,k)。因此平方对于奇数长度不变，偶数则会分裂成两份长度同样的循环，因此假设B中偶数长度的循环个数不为偶数必定不存在A了

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

const int N = 30;
int t, next[N], vis[N], num[N];
char str[N];

bool judge() {
	for (int i = 2; i <= 26; i += 2)
		if (num[i] % 2) return false;
	return true;
}

int main() {
	scanf("%d", &t);
	while (t--) {
		scanf("%s", str);
		for (int i = 0; i < 26; i++)
			next[i] = str[i] - 'A';
		memset(vis, 0, sizeof(vis));
		memset(num, 0, sizeof(num));
		for (int i = 0; i < 26; i++) {
			if (!vis[i]) {
				vis[i] = 1;
				int t = next[i];
				int cnt = 1;
				while (!vis[t]) {
					vis[t] = 1;
					t = next[t];
					cnt++;
    			}
    			num[cnt]++;
   			}
  		}
  		printf("%s\n", judge()?"Yes":"No");
	}
	return 0;
}

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