数学相关比较 牛顿迭代法求开方 很多个n的平方分之一

牛顿迭代法求开方

1. 牛顿迭代法
   
   
   
   作用： 求f(x) = 0 的解
   
   方法：假设任意一点 x0, 求切线与x轴交点坐标x1， 再求切线与x轴交点坐标x2，一直重复，直到f(xn) 与0的差距在一个极小的范围内

2. 牛顿迭代法为什么收敛

   这里的f(x) = x^2 - a^2
   
   如果当前点是x，那么下一个点就是 x2 = (x^2 -a^2)/2x
   
   1） 假设解为a， 如果x>a, 则 x-x2 = (x + a^2/x)/2 ， 因为a>0, 所以x必然大于x2
   
   2) 假设x<a, 从图上容易得出，此时f(x)<0, 下一个点也就是x2会大于a， 然后就会进入上边的1)开始不断逼近解。

3. 我们来看看收敛的充分条件：

   若 二阶可导，那么在待求的零点 周围存在一个区域，只要起始点 位于这个邻近区域内，那么牛顿-拉弗森方法必定收敛。
   
   也就是说，在这个区域内，用切线代替曲线这个直觉是合理的。
   
   但是，因为我们不知道根点到底在哪里，所以起始点 选择就不一定在这个区域内，那么这个直觉就不可靠了。

   还有很多找不到解的情况，比如离解越来越远或者驻点，具体参考原文：https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81837154

4. 实现代码

   # 牛顿迭代求开方：
   def extract(x):
       print('#=======%s========' % str(x))
       y = 1.0
       while(abs(x-y**2) > 0.00001):
           y = (y+x/y)/2
           print(y)
   extract(0.01)
   extract(16)
   extract(256)
   
   #=======0.01========
   0.505
   0.2624009900990099
   0.15025530119986813
   0.10840434673026925
   0.10032578510960605
   0.10000052895642693
   #=======16========
   8.5
   5.1911764705882355
   4.136664722546242
   4.002257524798522
   4.000000636692939
   #=======256========
   128.5
   65.24610894941634
   34.58485728656987
   20.993470372021676
   16.59386909154118
   16.010626831390027
   16.00000352670594
   16.00000000000039
   

很多个n的平方分之一 求和

1+1/2²+1/3²+···+1/n²= 2

H （调和数）

n

1+1/2²+1/3²+···+1/n²+···=π^2/6

证明：可以参见黎曼zeta函数.

一个有意思的推导是欧拉给出的

考虑Sin(x)/x

泰勒展开后有 sin(x)/x = 1 - x^2/3!+ .

另外,sin(x)/x 在x = n Pi 的时候有零点.我们假设可以用这些零点来表示sin(x)/x 那么有

sin(x)/x = (1-x/Pi)(1+x/Pi)(1-x/(2Pi))(1+x/(2Pi)...

(成立因为左边有右边的零点必须相同)

也就等于 (1-x^2/Pi2)(1-x^2/(4Pi2)).

展开上面的连积,然后取x^2项目的系数有

-(1/Pi^2+1/(4Pi2)+1/(9Pi^2)+.) = - 1/Pi^2 (1+1/4+1/9+...1/n^2)

这个既然是x^2项目的系数,自然应该等于 1/3!= 1/6.

所以得到

1+1/4+1/9+.= Pi^2/6.

或者：

函数f(x)=-x,-π