H∞一般控制问题的鲁棒叙述性说明

Robust Control System：反馈控制有承受一定类不确定能力的影响，这一直保持在这种不确定的条件（制）稳定、动态特性（灵敏度）和稳态特性（逐步调整）的能力。

非结构不确定性（Unstructured Uncertainty），如外界扰动带来的影响——H∞控制（本文的内容）

结构不确定性（Structured Uncertainty）如系统參数的不确定性变化——μ分析与μ综合

标准鲁棒控制问题的一般模型（双端子模型）即下线性分式变换形式：

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvbGlnaHRfbGo=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast" alt="">

G为增广控制对象；K控制器；u是控制输入。y是被測量输出或对象输出（u和y各自是系统传递函数或者状态空间里的输入和输出）。w是外部输入或參考输入。如：扰动、噪声；z是被控制的输出。

相应的增广状态方程为：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dot x = Ax + \left[ {{B_{1,}}{B_2}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}w\\u\end{array}} \right]}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}z\\y\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{C_1}}\\{{C_2}}\end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{D_{11}}}&{{D_{12}}}\\{{D_{21}}}&{{D_{22}}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}w\\u\end{array}} \right]}\end{array}} \right.$

可记为：

${\text{G = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} A&{{B_1}}&{{B_2}} \\ {{C_1}}&{{D_{11}}}&{{D_{12}}} \\ {{C_2}}&{{D_{21}}}&{{D_{22}}} \end{array}} \right]$

传递函数为：

$\begin{gathered} G\left( s \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{G_{11}}\left( s \right)}&{{G_{12}}\left( s \right)} \\ {{G_{21}}\left( s \right)}&{{G_{22}}\left( s \right)} \end{array}} \right] \hfill \\ {G_{ij}} = {C_i}{\left( {sI - A} \right)^{ - 1}}{B_j} + {D_{ij}} \hfill \\ \end{gathered}$

可见由w到z的闭环传递函数为： ${T_{wz}}\left( s \right) = {G_{11}}\left( s \right) + {G_{12}}\left( s \right){\left( {I - K\left( s \right){G_{22}}\left( s \right)} \right)^{ - 1}}K\left( s \right){G_{21}}\left( s \right)$

由此传递函数可得到闭环系统的框图也能够绘制成例如以下形式：

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvbGlnaHRfbGo=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast" alt=""> $\gamma$

鲁棒控制要解决的问题就是设计出一个真实有理镇定控制器 $u = Ky$ 使得闭环系统内稳定，且满足：

1）标准 ${H_\infty }$ 控制问题： ${\left\| {{T_{wz}}\left( s \right)} \right\|_\infty } < 1$

2） ${H_2}$ 最优控制问题：

\min {\left\| {{T_{wz}}\left( s \right)} \right\|_{\rm{2}}}" alt="">

3） ${H_\infty }$ 最优控制问题： $\min {\left\| {{T_{wz}}\left( s \right)} \right\|_{\rm{2}}}$

{H_\infty }" alt="">次优控制问题：

{\left\| {{T_{wz}}\left( s \right)} \right\|_\infty } < \gamma" alt="">。 $\gamma$ 是一个正实数。

1、干扰抑制（最小灵敏度）问题 =>鲁棒标准问题

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvbGlnaHRfbGo=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast" alt="" style="font-family:'Microsoft YaHei'; font-size:18px">

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {z = d - Pu} \\ {y = d - Pu} \\ {u = ky} \\ {w = d} \end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} z \\ y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - P} \\ 1&{ - P} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} w \\ u \end{array}} \right]$

${T_{wz}} = {\left( {1 + PK} \right)^{ - 1}}$ （即灵敏度函数 $S\left( s \right)$ ）

问题： $\min {\left\| {{T_{wz}}} \right\|_\infty }{\text{ = min}}{\left\| {{{\left( {1 + PK} \right)}^{ - 1}}} \right\|_\infty }$

2、鲁棒镇定问题=>鲁棒标准问题

1）加性不确定系统

${T_{zw}}\left( s \right) = {W_2}\left( s \right)K\left( s \right){\left[ {I - P\left( s \right)K\left( s \right)} \right]^{ - 1}}{W_1}\left( s \right)$

广义控制对象 $G = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{W_2}} \\ {{W_1}}&P \end{array}} \right]$

${F_l}\left( {G,K} \right) = {W_2}K{\left[ {I - PK} \right]^{ - 1}}{W_1}$

2）乘性不确定系统

广义控制对象 $G = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{W_2}P} \\ {{W_1}}&P \end{array}} \right]$

${F_l}\left( {G,K} \right) = {W_2}PK{\left[ {I - PK} \right]^{ - 1}}{W_1}$

问题：寻找控制器K。镇定G，且满足 ${\left\| {{F_l}\left( {G,K} \right)} \right\|_\infty } < 1$

3、跟踪问题=>鲁棒标准问题

watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvbGlnaHRfbGo=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast" alt="">

如果r是一能量有限的输入信号 $\left\{ {r:r = Ww,w \in {H_2},{{\left\| w \right\|}_2} < 1} \right\}$

已知P和W，设计控制器C1和C2，使使系统内稳定，且v尽可能好地跟踪r

为保证存在最优的真实有理控制器。取目标函数（

{\rho}u" alt="">是加权控制能量项）

$z = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {r - v} \\ {\rho u} \end{array}} \right]$

取：

y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} r \\ v \end{array}} \right]" alt="">

问题：寻找控制器K，镇定G，且满足 $min{\left\| {{F_l}\left( {G,K} \right)} \right\|_\infty }$

4、模型匹配问题=>鲁棒标准问题

T1是一个模型。设计參数Q式模型T2QT3匹配T1。由第二个图能够得到：

$\begin{gathered} G = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{T_1}}&{{T_2}} \\ {{T_3}}&0 \end{array}} \right] \hfill \\ K = - Q \hfill \\ \end{gathered}$

问题：寻找K，镇定G，且满足

\min {\left\| {{T_{zw}}\left( s \right)} \right\|_\infty } = \min {\left\| {{T_1} - {T_2}Q{T_3}} \right\|_\infty }" alt="">

5、混合灵敏度问题=>鲁棒标准问题

系统原图參考最小灵敏度问题

前面讲了灵敏度函数 $S\left( s \right)$ 。补灵敏度函数 $T\left( s \right) = I - S\left( s \right) = {\left[ {I + PK} \right]^{ - 1}}PK$ 。从控制对象的鲁棒稳定性出发，要求补灵敏度越小越好，可是从扰动个信号w对输出y的影响来说。要求灵敏度越小越好，但两者又是相互矛盾的。所以这就须要有个折中。

考虑到一般扰动信号具有低频性。而模型的不确定性通常是因为忽略了高频动力学特性引起的。所以所下面式中的Q1和Q2一般没有交集。故非常难求得满足下式的控制器。

\begin{gathered} {\left\| {S\left( {j\omega } \right)} \right\|_\infty } < {\varepsilon _1},\omega \in {Q_1} \hfill \\ {\left\| {T\left( {j\omega } \right)} \right\|_\infty } < {\varepsilon _2},\omega \in {Q_2} \hfill \\ \end{gathered} " alt="">

故引入加权函数W1和W2，分别作为Q1和Q2的权，控制器的条件能够写成：

${\left\| {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{W_1}S} \\ {{W_2}T} \end{array}} \right]} \right\|_\infty } < \gamma$

广义控制对象

${T_{wz}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{W_1}} \\ 0 \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {W_1}P} \\ {{W_2}P} \end{array}} \right]{\left( {I{\text{ + KP}}} \right)^{ - 1}}K$

问题：

{\left\| {{T_{wz}}\left( s \right)} \right\|_\infty } < \gamma " alt="">