B Alice and Bob

•输入输出文件: alice.in/alice.out

•源文件名: alice.cpp/alice.c/alice.pas

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题目描述

Alice 和 Bob 发明了一个新的游戏。给定一个序列{x0,x1,··· ,xn−1}。Alice得 到一个序列 {a0,a1,··· ,an−1},其中 ai 表示以 xi 结尾的最长上升子序列的长 度;Bob 得到一个序列 {b0,b1,··· ,bn−1},其中 bi 表示以 xi 开头的最长下降 子序列的长度。Alice的得分是序列 {a0,a1,··· ,an−1} 的和,Bob的得分是 {b0,b1,··· ,bn−1}的和。 输输输入入入 输入的第一行是 n,第二行是序列{a0,a1,··· ,an−1}。数据保证序列 a 可以由 至少一个 1 到 n 的排列得到。

输出
输出包含一行,表示 Bob 能得到的最高分数。
样例输入1
4 1 2 2 3
样例输出1
5
样例输入2
4 1 1 2 3
样例输出2
5
数据范围 对于 30%

的数据,N ≤ 1000

对于 100% 的数据,N ≤ 10^5

这道题一看到的时候觉得可做,马上写出了一个转移方程 f[i]表示从后往前值为 i 时最长的答案,觉得似乎只能从后面 的 a值小于i的地方转移过来,然后就比SCOIDay1T1简单,用同样的思路加树状数组就出来了。但是后来再检查的时候仔细推了一下,发现有些不对。

对于两个位置p,q(p<q) 如果a[p]>=a[q] 那么x[p]>x[q] ,这一点很显而易见,但是如果a[p]<a[q]并不能推出x[p]<x[q]比如x为1 6 2 5 3 4时a值为1 2 2 3 3 4 a[2]<a[6]但是x[2]>x[6],所以说有一定问题。我们发现,如果满足a[p]<a[q]&&x[p]>x[q]则一定存在另一个序列从p后面等于a[p]这个值开始,不断累加可以得到,比如a[2]后面a[3]==a[2] ,a[4]==a[3]+1,a[6]==a[4]+1,所以第6个位置可能比第二个位置小

然后就得到了一个暴力的方法,小于的像原来那样弄,大于的N^2来搞,这样子可以得30分

然后想优化,思想上比较麻烦,写起来很简单,直接看代码吧:

 #include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
int lowbit(int x) {return x&-x;} int num[];
int n;
void change(int data,int pos)
{
while (pos<=n)
{
num[pos]=max(num[pos],data);
pos+=lowbit(pos);
}
} int getans(int pos)
{
int ret=;
while (pos>)
{
ret=max(ret,num[pos]);
pos-=lowbit(pos);
}
return ret;
} int a[];
int f[];
int fself[];
int nextc[];
int nextb[];
int last[];
int maxd[];
void pre()
{
for (int i=n;i>=;--i)
{
nextc[i]=last[a[i]];
last[a[i]]=i;
nextb[i]=last[a[i]+];
}
} void trans(int k)
{
fself[k]=fself[nextb[k]];
fself[k]=max(fself[k],maxd[a[k]]);
} int getbigans(int k)
{
return fself[nextc[k]]+;
} int viodp()
{
int ret=;
for (int i=n;i>=;--i)
{
f[i]=;
for (int j=i+;j<=n;++j)
{
if (a[j]<=a[i])
f[i]=max(f[i],f[j]+);
}
int now=a[i];
for (int j=i+;j<=n;++j)
{
if (a[j]<=now&&a[j]>a[i])
f[i]=max(f[i],f[j]+);
if (a[j]==now)
{
now=now+;
}
}
ret+=f[i];
}
// cout<<endl;
return ret;
} long long dp()
{
long long ret=;
for (int i=n;i>=;--i)
{
int f=getans(a[i])+;
f=max(f,getbigans(i));
maxd[a[i]]=max(maxd[a[i]],f);
trans(i);
change(f,a[i]);
ret+=f;
}
return ret;
} int main()
{
freopen ("alice.in","r",stdin);
freopen ("alice.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for (int i=;i<=n;++i)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
if (n<=)
{
cout<<viodp()<<endl;
return ;
}
pre();
cout<<dp()<<endl;
return ;
}

Viodp就是暴力的DP

自己看着理解理解吧。。。其实我觉得这道DP不错,有些意思。似乎其他人写了什么拓扑排序只有50分。

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