[TJOI2014] [Bzoj3996] 线性代数 [网络流，最小割]

由原式，可以推出D=Σ(i=1,n,Σ(j=1,n,A[i]*A[j]*B[i][j]))-Σ(i=1,n,A[i]*C[i])

　　$D=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}A[i]*A[j]*B[i][j]-\sum\limits_{i=1}^{n}A[i]*C[i]$

，故建图方法如下：由源点像第一层n*n个点连边，边权为$B[i][j]$，由第一层像第二层连边，边权正无穷，由第二层向汇点连边，边权$C[i]$。最终答案为$\sum B-MAXFLOW$。

推导过程：

　　(A　　*　　B　　-　　C)　　*　　A^T

(1*n)        (n*n)       (1*n)        (n*1)

=A*B    *     A^T   -   C * A^T

(1*n)       (n*1)     (1*1)

令$P[i][j]=\sum\limits_{k=1}^{n}A[i][k]*B[k][j]$

　$A^T[i][j]=A[j][i]=A[i](j=1)$

原式=$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}A[i]*B[i][j]*A[j]-\sum\limits_{i=1}^{n}A[i]*C[i]$

参考HZWER博客：http://hzwer.com/6814.html

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

template<const int _n>
struct Edge
{
    struct Edge_base { int    to,next,w; }e[_n];
    int    p[_n],cnt;
    Edge() { clear(); }
    int    start(const int x) { return p[x]; }
    void    insert(const int x,const int y,const int z)
    { e[++cnt].to=y; e[cnt].next=p[x]; e[cnt].w=z; p[x]=cnt; return ; }
    void    clear() { cnt=,memset(p,,sizeof(p)); }
    Edge_base&    operator[](const int x) { return e[x]; }
};

int    SSS,TTT,cur[];
int    n,tot,level[];
Edge<>    e;

bool    Bfs(const int S)
{
    int    i,t;
    queue<int>    Q;
    memset(level,,sizeof(int)*(n+n*n+));
    level[S]=;
    Q.push(S);
    while(!Q.empty())
    {
        t=Q.front();Q.pop();
        for(i=e.start(t);i;i=e[i].next)
        {
            if(!level[e[i].to] && e[i].w)
            {
                level[e[i].to]=level[t]+;
                Q.push(e[i].to);
            }
        }
    }
    return level[TTT];
}

int    Dfs(const int    S,const int bk)
{
    if(S==TTT)return bk;
    int    rest=bk;
    for(int &i=cur[S];i;i=e[i].next)
    {
        if(level[e[i].to]==level[S]+ && e[i].w)
        {
            int    flow=Dfs(e[i].to,min(rest,e[i].w));
            e[i].w-=flow;
            e[i^].w+=flow;
            if((rest-=flow)<=)break;
        }
    }
    if(bk==rest)level[S]=;
    return bk-rest;
}

int    Dinic()
{
    int    flow=;
    while(Bfs(SSS))
    {
        memcpy(cur,e.p,sizeof(int)*(n+n*n+));
        flow+=Dfs(SSS,0x3f3f3f3f);
    }
    return flow;
}

int    getint()
{
    int    data=;
    char    ch=getchar();
    while(ch<'' || ch>'')ch=getchar();
    while(ch>='' && ch<='')data=data*+ch-,ch=getchar();
    return data;
}

int main()
{
    int    i,j,x,Sum=;

    n=getint();
    tot=n;SSS=tot+n*n+;TTT=SSS+;
    for(i=;i<=n;++i)
    {
        for(j=;j<=n;++j)
        {
            x=getint();++tot;
            e.insert(SSS,tot,x);
            e.insert(tot,SSS,);
            e.insert(tot,i,0x3f3f3f3f);
            e.insert(i,tot,);
            e.insert(tot,j,0x3f3f3f3f);
            e.insert(j,tot,);
            Sum+=x;
        }
    }

    for(i=;i<=n;++i)
    {
        x=getint();
        e.insert(i,TTT,x);
        e.insert(TTT,i,);
    }

    printf("%d\n",Sum-Dinic());

    return ;
}