「日常训练」Maximum Multiple（HDU-6298）

题意与分析

一开始以为是一条高深的数学题，跳过去了，后来查其他题目的代码的时候无意看到，一看emmmmmm

稍微思考一下就有了。\(1=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\)。那么是不是只有这三种？这个问题就要靠整数数论来解答了。

以下是证明过程：

先考察\(a<b<c\)的情况，显然有\(a\ge 2\)。

考虑\(a\ge 3\)，从而有\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \le \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5} = \frac{47}{60} < 1\)，不合题意，舍去。

故\(a=2\)。

接下来考虑b。显然有\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\)。

假设\(b\ge 4\)，有\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge \frac{1}{4}+\frac{1}{5} = \frac{9}{20} < \frac{1}{2}\)，故\(b=3\)。

在这种情况下，\(a,b,c\)仅有一组解。

考察\(a=b=c\)的情况，有一组解。

考察\(a=b\ne c\)的情况，通过类似的证明，可以得到另一组解（简要证明：分为两种情况，\(a<c\)和\(a>c\)来讨论）。

当然了，这些对数论大手子都是在脑子里过一遍就有了简单的一腿，也就我们这种弟弟会写个半天。

注意到\(T \le 10^6\)，注意关掉流同步/C-style io。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	int T; cin>>T;
	while(T--)
	{
		int n;
		cin>>n;
		ll a,b,c;
		ll ans=0;
		if(n%3==0)
		{
			a=b=c=n/3;
			ans=max(ans,a*b*c);
		}
		if(n%2==0 && n%3==0)
		{
			a=n/2;b=n/3;c=n/6;
			ans=max(ans,a*b*c);
		}
		if(n%4==0)
		{
			a=b=n/4;c=n/2;
			ans=max(ans,a*b*c);
		}
		if(ans==0) cout<<-1<<endl;
		else cout<<ans<<endl;
	}
}