POJ 1830 开关问题 异或高斯消元

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将题目转化为矩乘问题

构建一个 \(n \times n\) 的开关信息矩阵，其中第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元素为 \(0 / 1\) 代表在改变开关 \(i\) 的情况下开关 \(j\) 是否会改变

将该开关信息矩阵乘上一个 \(n\times 1\) 的答案矩阵，其中第 \(i\) 行的元素为 \(0/1\) 代表是否拉第 \(i\) 个开关

得到的是一个 \(n\times 1\) 的矩阵，将其与开关的初始状态矩阵 逐位相异或(注意，不是矩乘) 若得到开关的结果状态矩阵，则答案加一

利用异或的性质 a^b=b^a ，将结果矩阵逐位异或上初始矩阵，我们就得到了矩乘的标准形式 \(Ax=b\)

最后的答案即为 \(x\) 的 \(2\) 的自由元个数次方 (因为每个自由元只可取 \(0/1\))，也即 \(2\) 的 \(n-rank(A)\) 次方

下面是代码：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int MAX_N = 50;

int mat[MAX_N][MAX_N];

int Gauss(int n) {
    int rank = 0;
    for (int col = 0; col < n; ++col) {           // 逐列找 pivot
        int pivotRow = -1;
        for (int row = rank; row < n; ++row) {
            if (mat[row][col]) {                  // 找到了，记录 pivot 所在行的位置
                pivotRow = row;
                break;
            }
        }
        if (pivotRow == -1) continue;             // 没找到，自由元++
        for (int i = 0; i <= n; ++i)
            swap(mat[pivotRow][i], mat[rank][i]); // 将 pivot 所在行的位置交换到第 rank 行(行数从 0 开始) 以形成下三角矩阵
        for (int i = rank + 1; i < n; ++i) {
            if (mat[i][col]) {
                for (int j = col; j <= n; ++j)  mat[i][j] ^= mat[rank][j];  // 异或消元
            }
        }
        ++rank;                                   // 矩阵的阶++
    }
    for (int row = rank; row < n; ++row)
        if (mat[row][n])    return -1;            // 高消后此时 rank+1 ~ n 行左边全为 0，若最右元素仍不为 0 则出现了 0=n，方程无解
    return rank;                                  // 返回矩阵 A 的阶
}

int main() {

    int k;
    cin >> k;
    while (k--) {
        int n;
        cin >> n;
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            mat[i][i] = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int x;
            cin >> x;
            mat[i][n] ^= x;
        }
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int x;
            cin >> x;
            mat[i][n] ^= x;            // 构建 b 结果状态矩阵(向量)
        }
        int x, y;
        while (cin >> x >> y) {
            if (!x && !y)   break;
            mat[y - 1][x - 1] = 1;     // 构建 A 矩阵
        }
        int ans = Gauss(n);
        if (~ans) {
            cout << (1 << (n - ans)) << endl;    // n-rank(A) 即自由元个数，每个自由元都有 0/1 两种可能取值
        } else {
            cout << "Oh,it's impossible~!!" << endl;
        }
        memset(mat, 0, sizeof(mat));
    }

    return 0;
}