Codeforces Round #502

C. The Phone Number

题目描述：求一个$n$排列，满足$LIS+LDS$最小

solution
枚举$LIS$，可证明$LDS$的最小值为$\left \lceil \frac{n}{LIS} \right \rceil$。

证明：
假设$LDS<\left \lceil \frac{n}{LIS} \right \rceil$，令$(a_i, b_i)$为$i$为结尾的$LIS$和$LDS$，可知$(a_i, b_i)$二元组两两不同（假设$a_i=a_j, b_i=b_j, i<j, \because a_i=a_j，\therefore p_i>p_j$, 则$b_j=b_i+1$矛盾）

则有$1\leq a_i \leq LIS$,
$1\leq b_i \leq LDS \leq \left \lceil \frac{n}{LIS} \right \rceil -1 < \frac{n}{LIS}+1-1=\frac{n}{LIS}$

所以二元组的个数小于$LIS \cdot \frac{n}{LIS}=n$，根据鸽巢原理，必定有两个二元组相同，矛盾。

因此$LDS$的最小值为$\left \lceil \frac{n}{LIS} \right \rceil$。

根据这个可构造答案，从大到小排，然后每$LIS$个一组，剩余的一组，然后每组从小到大排。

时间复杂度：$O(n)$

E. The Supersonic Rocket

题目描述：题目看得很过瘾，竟然可以把判断两个凸包是否相同描述得如此得复杂。。。

solution
以边长和角度（可以用相邻边的点乘代替）的顺序作为凸包的特征值，把第一个凸包的特征值看成一个字符串，第二个凸包的特征值复制两遍，跑一次$KMP$即可。

时间复杂度：$O(nlogn)$

F. The Neutral Zone

题目描述：定义$exlog_f(p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k})=a_1f(p_1)+a_2f(p_2)+\cdots+a_kf(p_k), p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$是一个数的质因数分解，$f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D$, 求$\sum_{i=1}^{n} exlog_f(i)$

solution
其实就是求
\[\sum_{i=1}^{n \text{以内质数个数}} f(p_i)\sum_{j=1}^{\infty} \left \lfloor \frac{n}{p_i} \right \rfloor\]

但是空间只有$16M$

方法一：
质数中除了$2, 3$其它质数模$6$为$\pm 1$，以此可以将线性筛的数组控制在十几$M$。

方法二：
将$\sqrt{n}$的质数求出来，然后将$n$分块，每一块分$3\times 10^6$，然后每一块用$\sqrt{n}$的质数筛，筛剩的就是质数。

时间复杂度：$O(nln\sqrt{n})$

G. The Tree

题目描述：有一棵以$1$为根的树，一开始所有点都是白色，现要支持三种操作：

选择一个节点，如果这个节点是白色，则将它变成黑色，否则对它的所有儿子进行同样操作。
选择一个节点，将这个节点的子树全部变成白色。
询问一个节点的颜色。

solution
题解给的方法是对操作分块$(\sqrt{n})$，然后每一块的操作只涉及$\sqrt{n}$个点，然后不知道怎么搞。。。
下面一个小哥给了一个树剖的做法，感觉好理解一些。

首先将所有点标记为$-1$，
对于操作$1$，将那个点$+1$，
对于操作$3$，就是询问该点到根的后缀和最大值是否非负，如果非负，则这个点为白色，否则就是黑色。
对于操作$2$，先询问父亲到根的最大后缀和$(x)$，然后将子树全部变成$-1$，最后如果$x>0$, 则询问的那个点要加上$-x$，以消除前面操作对该子树的影响。

时间复杂度：$O(nlogn)$