bzoj 4407 于神之怒加强版——反演

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4407

\( ans = \sum\limits_{D=1}^{min(n,m)}\frac{n}{D}*\frac{m}{D}\sum\limits_{d|D}d^{k}\mu (\frac{D}{d}) \)

设 \( g[ i ]=\sum\limits_{j|i}(\frac{i}{j})^{k}*\mu (j) \) ，则 g 是积性函数（因为 id 是积性函数，所以 id^k 也是；u 也是积性，卷积起来也是积性），可以筛。

g 在质因数幂地方的取值可以手动筛到一个质因数的时候赋了，遇到 i % pri[ j ] == 0 的时候就可以把 i 的 pri[ j ] 都拿出来，然后相乘得到了。

或者遇到 i % pri[ j ] == 0 的时候，发现这个 pri[ j ] 的贡献不在 \( \mu \) 里，所以只要给 g[ i ] 乘上 pri[ j ] 就行了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=5e6+,mod=1e9+;
int T,w,g[N],s[N],pri[N];bool vis[N];
void upd(int &x){x>=mod?x-=mod:;}
int pw(int x,int k)
{int ret=;while(k){if(k&)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=;}return ret;}
void init()
{
  int lm=5e6,cnt=;
  g[]=s[]=;
  for(int i=;i<=lm;i++)
    {
      if(!vis[i])
    {
      pri[++cnt]=i;
      for(ll j=i,k=;j<=lm;j*=i,k*=i)
        g[j]=pw(j,w)-pw(k,w)+mod,upd(g[j]),vis[j]=;
    }
      for(int j=;j<=cnt&&(ll)i*pri[j]<=lm;j++)
    {
      int d=i*pri[j]; if(vis[d])break; vis[d]=;
      int k=d;while(k%pri[j]==)k/=pri[j];
      g[d]=(ll)g[k]*g[d/k]%mod;
      if(i%pri[j]==)break;
    }
      s[i]=s[i-]+g[i];upd(s[i]);
    }
}
int main()
{
  scanf("%d%d",&T,&w); init(); int n,m;
  while(T--)
    {
      scanf("%d%d",&n,&m); if(n>m)swap(n,m);
      int ans=;
      for(int i=,j;i<=n;i=j+)
    {
      int d0=n/i,d1=m/i; j=min(n/d0,m/d1);
      ans=(ans+(ll)d0*d1%mod*(s[j]-s[i-]+mod))%mod;
    }
      printf("%d\n",ans);
    }
  return ;
}