ZOJ 2599 Graduated Lexicographical Ordering (数位DP)

首先要吐两行槽：看到集训队论文上有这道题，由于数位DP一律写成记忆化搜索形式的强迫症，就没去看论文上的几个函数是什么……；结果被这道题虐的脑细胞死光……，最后是用随机数据对拍AC程序然后发现BUG改掉后才过掉的，花了一整天时间……。回头看论文，发现差不多……。

大概题意:给出一个long long范围的数N构成区间[1,N]和K(K<N)，然后给出数的排名规则（参见原题），看到第一问求K的排名，稍稍考虑后觉得……这还用做？，第二问求第K大的数是什么，脑补N久之后感叹……这也能做？！  好吧，第一问是挺经典的数位统计问题，较简单，第二问，比较困难，很锻炼逆向思维。

思路：第一问大体解题轮廓：如果求出了位数为i，数位和为j的个数，然后把K按区间划分……，差不多是这样。细节处理：K的各位和为SUM，比SUM小的都加上，等于SUM字典序小于K的也加上……于是把比K排名小的数拆成这两部分计算会比较简单，设dp[i][j]为i位小于j的个数（含前导零），dp2[i][j]为i位等于j的个数（不含前导零）……，（其实dp2[i][j]可以用dp[i][j+1]-dp[i][j]表示，为了思路清晰就分开存了……，而且记忆化搜索懒惰求dp值的话，应该会出错……），第一部分区间划分比较简单，只需要考虑别超过N的限制就OK了，所以记忆化搜索只需要设一个标志f1：划分上界不超过N。第二部分繁琐些……，而且需要考虑当前是否有前导零（不明白的仔细考虑一下），觉得至少需要三个标志：f1：前导零标志，f2：划分上界不超过K（字典序限制），f3：划分上界不超过N……。这样就差不多了……

第二问大体解题轮廓：根据排名算数是不能按数位处理的……，所以要倒过来想：排名为K的数的SUM是多少？字典序又是如何的？  排名为K的SUM用第一问的第一个函数就能求出，枚举SUM的值判断是否大于K，大于K就停下，由于dp[i]数组的值是单调的，所以可以二分处理……。设SUM=X，那么第K个数就是SUM=X的所有数中字典序排名为(K-数位和<sum)的……，设这个排名为DX。然后这就又可以利用第一问的第二个函数去按位夹逼……，其实枚举每一位的值时也有单调性，可以二分，不过只枚举0~9，就没这必要了吧……，万一二分再写错……。细节注意：把SUM分配给每一位，SUM减到零时并不一定就是所求，可能还有后导零……。

不知道怎么说的更清楚点了……，还是多动脑想细节吧……。

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>

 using namespace std;
 typedef long long  ll;

 ll dp[][];
 ll dp2[][];
 int d1[],d2[];
 ll dfs(int w,int sum,bool f1)
 {
     if(sum<=)return ;
     if(!w)return sum>;
     if(!f1&&~dp[w][sum])return dp[w][sum];
     int e=f1?d1[w]:;
     ll ans=;
     for(int i=;i<=e;++i)
         ans+=dfs(w-,sum-i,f1&&(i==e));
     if(!f1)dp[w][sum]=ans;
     return ans;
 }

 ll dfs2(int w1,int w2,int sum,bool f1,bool f2,bool f3)
 {
     if(sum<)return ;
     if(!w1)return sum==;
     if(!f2&&!f3&&~dp2[w1][sum])return dp2[w1][sum];
     int e=f3?d1[w1]:;
     ll ans=;
     if(f2)e=min(e,d2[w2]);
     for(int i=;i<=e;++i)
     {
         if(!i&&f1)ans+=dfs2(w1-,w2,sum,,,);
         else ans+=dfs2(w1-,w2+,sum-i,,f2&&(i==d2[w2]),f3&&(i==d1[w1]));
     }
     if(!f2&&!f3)dp2[w1][sum]=ans;
     return ans;
 }

 ll cal(ll n,ll m)
 {
     int c1,c2,sum;
     for(c1=;n;d1[++c1]=n%,n/=);
     for(c2=,sum=;m;d2[++c2]=m%,sum+=d2[c2],m/=);
     d2[c2+]=-;
     for(int i=;i<c2/;++i)swap(d2[i+],d2[c2-i]);
     return dfs(c1,sum,)-+dfs2(c1,,sum,,,);
 }
 ll cal2(ll n,ll k)
 {
     int c1,c2=;
     for(c1=;n;d1[++c1]=n%,n/=);
     int l=,r=,m=(l+r)>>;
     while(r>l)
     {
         if(dfs(c1,m,)->=k)r=m;
         else l=m+;
         m=(l+r)>>;
     }
     // the kth sum is m-1
     int sum=--m;
     ll dx=k-(dfs(c1,m,)-);
     memset(d2,-,sizeof(d2));
     while(sum>)
     {
         for(d2[c2]=min(sum,);d2[c2]>=;--d2[c2])
             if(dx>dfs2(c1,,m,,,))break;
         sum-=d2[c2++];
     }
     if(dfs2(c1,,m,,,)!=dx)
     {
         bool flag=false;
         if(c2>&&d2[c2-]==&&d2[c2-]<)
         {
             ll t=d2[c2-];
             d2[--c2-]+=t,d2[c2]=-;
             if(dfs2(c1,,m,,,)==dx)flag=true;
             else d2[c2-]-=t,d2[c2++]=t;
         }
         if(!flag)
             do{d2[c2++]=;}while(dfs2(c1,,m,,,)!=dx);
     }
     ll ans=;
     for(int i=;i<c2;++i)
         ans*=,ans+=d2[i];
     return ans;
 }
 int main()
 {
     ll n,m;
     memset(dp,-,sizeof(dp));
     memset(dp2,-,sizeof(dp2));
     while(~scanf("%lld%lld",&n,&m)&&(n+m))
         printf("%lld %lld\n",cal(n,m),cal2(n,m));
     return ;
 }