P9461 「EZEC-14」众数 II

题意

略。

思路

发现如果区间包含的 $a_i$ 都是完整的，那么最小众数一定是 $1$。

否则如果 $a_l$ 只有一段后缀 $[x,a_l]$ 和 $a_r$ 只有一段前缀 $[1,y]$，当且仅当 $\forall i \in [l,r], a_i \ge x$ 时最小众数是 $x$，否则还是 $1$。

没有其他情况。

为了方便，我们转为求出所有最小众数为 $x(x>1)$ 的子区间，贡献 $x-1$。

然后所有子区间再贡献一个 $1$。这部分显然是好求的。

$\forall i \in [l,r], a_i \ge x$ 这个条件，让我们想到小根笛卡尔树。

对于笛卡尔树上一个节点 $u$，在它的左子树取一个 $l$，右子树取一个 $r$，计算贡献。显然这样的子区间最小众数为 $x \in [1,a_u]$。

这里最小众数为 $x$ 的时候有几个子区间？

左端点可以取左子树上任意一个点或者点 $u$ 的高度 $x$ 的位置，有 $siz_{ls} +1$ 种方案。

右端点可以取右子树上任意一个点或者点 $u$ 的高度 $\ge x$ 的位置，有 $(sum_{rs}+a_u) - (x-1)(siz_{rs}+1)$ 种方案。

每个方案的贡献是 $x-1$。

所以 $u$ 的子树的总贡献是：

\[\sum_{x=1}^{a_u} (x-1) (siz_{ls}+1) ((sum_{rs}+a_u)-(x-1)(siz_{rs}+1))
\]

化简一下，变成：

\[\begin{aligned}
& (siz_{ls}+1) \sum_{x=1}^{a_u} (sum_{rs}+a_u) (x-1) -(siz_{rs}+1)(x-1)^2 \\
= & (siz_{ls}+1) ((sum_{rs}+a_u) (\sum_{x=1}^{a_u-1} x) - (siz_{rs}+1) (\sum_{x=1}^{a_u-1} x^2)) \\
= & (siz_{ls}+1) ((sum_{rs}+a_u)\frac{a_u(a_u-1)}2 - (siz_{rs}+1) \frac{(a_u-1)a_u(2a_u-1)}{6})
\end{aligned}
\]

是不是做完了。

可以线性做，但是单 $\log$ 可以少写点东西。

code

#include<bits/stdc++.h>

#define sf scanf

#define pf printf

#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)

#define per(x,y,z) for(int x=y;x>=z;x--)

using namespace std;

typedef long long ll;

namespace wing_heart {

	constexpr int N=1e6+7,mod=998244353,V=1e6;

	struct modint {

		int x;

		modint (int y=0) : x(y) {}

		modint operator + (modint b) const { return x+b.x<mod ? x+b.x : x+b.x-mod; }

		modint operator - (modint b) const { return x-b.x<0 ? x-b.x+mod : x-b.x; }

		modint operator * (modint b) const { return 1ll*x*b.x%mod; }

		modint &operator += (modint b) { return *this = *this + b; }

		modint &operator *= (modint b) { return *this = *this * b; }

	};

	int n,a[N];

	int tr[N];

	void add(int x,int w) {

		for(;x<=V;x+=x&-x) tr[x]=max(tr[x],w);

	}

	int ask(int x) {

		int s=0;

		for(;x;x-=x&-x) s=max(s,tr[x]);

		return s;

	}

	modint b[N];

	int lt[N],rt[N];

	modint ans;

	void main() {

		sf("%d",&n);

		rep(i,1,n) sf("%d",&a[i]), b[i]=b[i-1]+a[i];

		rep(i,1,n) {

			lt[i]=ask(a[i])+1;

			add(a[i],i);

		}

		memset(tr,0,sizeof(tr));

		per(i,n,1) {

			rt[i]=n-ask(a[i]-1);

			add(a[i],n-i+1);

		}

		// rep(i,1,n) pf("%d %d\n",lt[i],rt[i]);

		rep(i,1,n) ans+=((b[rt[i]]-b[i-1])*(1ll*a[i]*(a[i]-1)/2%mod)-(modint)(rt[i]-i+1)*(1ll*(a[i]-1)*a[i]*(2*a[i]-1)/6%mod))*(i-lt[i]+1);

		ans+=b[n]+(1ll*b[n].x*(b[n].x-1)/2%mod);

		pf("%d\n",ans.x);

	}

}

int main() {

	#ifdef LOCAL

	freopen("in.txt","r",stdin);

	freopen("my.out","w",stdout);

	#endif

	wing_heart :: main();

}